Differentialgleichungen II

Sommersemester 2007

Randwertprobleme für lineare und nichtlineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: verallgemeinerte Ableitungen und Sobolew-Räume, Variationsprobleme und Operatorgleichungen, monotone Operatoren, Galerkin-Verfahren

Anfangsrandwertprobleme für lineare parabolische Differentialgleichungen: Bochner-Integral und Gelfand-Dreier, Evolutionsgleichungen, Zeitdiskretisierung, Regularität und Glättungseigenschaft

Besuchen Sie auch die Lehrveranstaltung

                            Numerik partieller Differentialgleichungen,

die eine Einführung in die Grundlagen der Finite-Elemente-Methode und die Theorie der Diskretisierungsverfahren bietet.

Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de oder kreusler@math.tu-berlin.de
 

AKTUELLES:
                       Der Übungstermin wurde auf Dienstag, 10-12 Uhr im MA 841 verschoben!

Für Fans: Der Link zur Fanpage!

Hörerkreis: Studierende der Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik

Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis, Optimalsteuerung oder Funktionalanalysis denken.
Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite).

Geplante Fortsetzung im Wintersemester 2007/08: Differentialgleichungen III (4 SWS), insbesondere zur Theorie der Halbgruppen und deren Anwendung auf lineare und nichtlineare Evolutionsgleichungen, gelesen von Frau Prof. Dr. P. Wittbold.

Voraussetzungen: Differentialgleichungen I oder äquivalente Kenntnisse, insbesondere auch Banachscher und Schauderscher Fixpunktsatz, Lebesguesches Integral, klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen, elementare Lösungsmethoden für partielle Differentialgleichungen.

Kriterien für einen unbenoteten Übungsschein: Es wird wöchentliche Übungsblätter geben. Diese müssen in festen Zweier- oder Dreiergruppen bearbeitet werden. Die Übungsblätter werden jeweils dienstags auf dieser Seite veröffentlicht und müssen im allgemeinen in der Übung der Folgewoche abgegeben werden. Zum Erhalt des Übungsscheins ist das Erreichen von jeweils der Hälfte der Punkte aus der ersten Semesterhälfte (voraussichtlich Blätter 1-5) und der zweiten Semesterhälfte (voraussichtlich Blätter 6-10) erforderlich. 

Prüfungsmodalitäten: werden rechtzeitig in der Vorlesung bekannt gegeben.

Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an

• E. Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. Vieweg, 2004.

Zu empfehlen sind insbesondere auch

• M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. Springer, 2nd ed. 2004.

• M. Ruzicka. Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer, 2004.

Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.

In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.

Das Buch Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations von R.E. Showalter kann kostenlos heruntergeladen werden, ebenso
das Buch Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen von W. Hackbusch.

Weitere Literaturempfehlungen

    .... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zur Numerik partieller Differentialgleichungen, insbesondere zur Finite-Elemente-Methode finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zur Biomathematik finden Sie hier (als PDF-Datei)

Inhalt:
 

I Schwache Lösungstheorie für stationäre Differentialgleichungsprobleme
    I.1  Verallgemeinerte Ableitung und Regularisierung im eindimensionalen Fall
    I.2  Sobolew-Räume H^1(a,b), H_0^1(a,b) und H^{-1}(a,b)
    I.3  Variationelle Formulierung und Operatorgleichung
    I.4  Lineare Variationsprobleme mit stark positiver Bilinearform
    I.5  Nichtlineare Variationsprobleme mit stark monotonem Operator
             Exkurs Lineare Funktionalanalysis
    I.6  Nichtlineare Variationsprobleme mit monotonem Operator und verstärkt stetiger Störung
    I.7  Galerkin-Verfahren: Diskrete Ersatzaufgabe und Fehlerabschätzungen
    I.8  Beweis der Existenzaussage für monotone Operatoren
    I.9  Finite-Elemente-Methode
    I.10 Anwendungen auf stationäre Differentialgleichungsprobleme in mehreren Dimensionen
 
II Schwache Lösungstheorie für instationäre Differentialgleichungsprobleme (Evolutionsgleichungen)
    II.1 Räume Bochner-integrierbarer Funktionen
    II.2 Verallgemeinerte Zeitableitung und der Raum W(0,T)
    II.3 Variationelle Formulierung und Operator-Differentialgleichung
    II.4 Lineare Evolutionsgleichungen und deren Zeitdiskretisierung
    II.5 Regularität, Kompatibilität der Daten und Glättungseigenschaft

Es gibt eine Übersicht über die für diese Vorlesung relevanten Räume (von F. Rindler).

Übungsblätter (pdf): (Es wird ein Zusatzblatt (Blatt 11) geben.)

 

Software:

Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.

Informationen zu MATLAB:

• Info-Blatt und ein Beispiel zur Lösung eines Anfangswertproblems (pdf-File)

• MATLAB - Eine freundliche Einführung (pdf-File)

• Kurzanleitung (pdf-File)

• A Practical Introduction (html)

• MATLAB Tutorial (html)

• MATLAB Primer (pdf-File)

Ähnlich wie MATLAB und frei zugänglich ist SCILAB des französischen INRIA - Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique.

Informationen zu SCILAB:

• SCILAB-Homepage

• SCILAB-Einführung (pdf-File)

• Besondere Hinweise zur Einrichtung von SCILAB

Für Fortgeschrittene empfehlen wir FEMLAB - ein Programmpaket, welches ursprünglich auf MATLAB aufbaut und für professionelle wissenschaftlich-technische Berechnungen geeignet ist. Zahlreiche Beispiele auf CD aus Bereichen wie Chemical Engineering und Fluid Dynamics sowie weitere Informationen sind unter www.comsol.de bzw. www.femlab.com zu erhalten.

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