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Sudierendenseminar Differentialgeometrie SS 07
Inhalt In diesem Seminar werden Vorträge zu
unterschiedlichen Themen, die im Zusammenhang mit den aktuellen
Forschungsinteressen unserer Arbeitsgruppe stehen, gehalten. Dieses
Seminar soll Diplomstudenten bei der Einarbeitung in ein
Diplomarbeitsthema helfen. Bachelorstudenten können eine erweiterte
Ausarbeitung zum Vortragsthema als Bachelorarbeit einreichen.
Termine
Das Seminar findet in diesem Semester, wegen zu
geringer Beteiligung, nicht statt.
Interessenten für ein Diffgeoseminar im WS 07/08 schreiben bitte eine
E-Mail an Paul Peters.
Themen
Zu jedem Thema sind Ansprechpartner und die Eignung für Bachelor- ,
Diplom- bzw. Masterarbeit angegeben.
Vergebene Themen sind mit dem Namen des Vortragenden gekenzeichnet.
- Themen aus dem Buch Fuchs,Tabachnikov:
"Mathematical Highlihts":
- The Crofton Formula (Lecture 19) (Sullivan; Bachelor)
- Münevver Akay: Ellipses and Ellipsoids (Lectures 28-30), 1 oder 2 Vorträge
(Bobenko, Schief, Sullivan; Bachelor, Diplom/Master)
- Isabel Kramer: Analysis of airplain boarding via space-time geometry and random
matrix theory (Scherfner; Diplom)
- Das "Odd Number Theorem" und seine Anwendungen (Scherfner; Bachelor)
- Der "Mountain-Pass"-Satz und Anwendungen in der Theorie der
Minimalflächen (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
- Existenz konformer Vektorfelder
und spezielle Folgerungen(Scherfner; Diplom/Master)
- Killing-Vektorfelder fuer verschiedene Lorentzmetriken
(Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
- Geschlossene Hyperflaechen in
S4 mit zwei konstanten Kruemmungsfunktionen
(Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
- Visualisierung von
geschlossenen zeitartigen Kurven
(Scherfner; Diplom/Master)
- Themen zur Visualisierung
- Sphere-Eversion und andere reguläre Homotopien von Flächen (Pinkall; Diplom/Master)
- Minimalflächen in S3 (Pinkall, Sullivan)
- Strukturen in gekrümmten Räumen (Pinkall, Sullivan)
- Elastische Kurven mit Selbstkontakt (Pinkall, Sullivan)
- Stereopanoramafotos und zylindrische Perspektive (Pinkall, Sullivan)
Verantwortlich
Dieses Seminar wird von
durchgeführt.
Ausführliche Beschreibung einiger Themen
-
Der "Mountain-Pass"-Satz und Anwendungen in der Theorie der
Minimalflächen
(Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
In der Geometrie gibt es zahlreiche Probleme, deren Lösungen sich als
Extrema bestimmter Energiefunktionale beschreiben lassen. So sind z.B.
Geodätische Riemannscher Mannigfaltigeiten und Minimalflächen kritische
Punkte solcher Funktionale. Ein interessanter Satz ist der Satz von
Ambrosetti-Rabinowitz (der sog. "Mountain-Pass"-Satz). Dieser ist schön zu
veranschaulichen und ein Existenzsatz der Variationsrechnung,
der - unter bestimmten Voraussetzungen an das betrachtete Funktional -
Sattelpunkte garantiert. Dies macht ihn insbesondere in Bezug auf
Minimalflächen interessant. Dieser Zusammenhang soll beleuchtet werden.
-
Existenz konformer Vektorfelder und spezielle Folgerungen
(Scherfner; Diplom/Master)
Die Lie-Ableitung ist eine wunderbare Moeglichkeit, um Symmetrien in
der semi-Riemannschen Geometrie zu untersuchen. Ausgezeichnet sind die
sog. Killingfelder, fuer welche die Lie-Ableitung verschwindet. Man findet
damit "Richtungen", in denen sich die Metrik nicht aendert. Neben
moeglichen Klassifikationen von Metriken ueber Strukturkonstanten gibt es
aber auch die Moeglichkeit, die Symmetrie physikalisch zu interpretieren.
Neben der ueblichen Killing-Gleichung kann man die Lie-Ableitung aber auch
gleich dem (nicht notwendig konstanten) Vielfachen der Metrik setzen. Man
betrachtet dann sog. konforme (Killing-) Vektorfelder, deren Existenz
teils erstaunliche Folgerungen in der Relativitaetstheorie gestattet.
Neben den mathematischen Grundlagen sollen einige davon diskutiert
werden. (Master/Diplom)
-
Killing-Vektorfelder fuer verschiedene Lorentzmetriken
(Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
Wie bei obigem Thema angedeutet, gibt die Existenz von
Killing-Vektorfeldern teils Aufschluss ueber wesentliche Eigenschaften
physikalisch relevanter Objekte. Daher spielt die explizite Kenntnis
solcher Vektorfelder bei der Untersuchung von Raumzeiten (spezielle
Lorentzmetriken) eine bedeutende Rolle. Exemplarisch sollen diese fuer
einige Metriken berechnet - und die Konsequenzen diskutiert - werden.
-
Geschlossene Hyperflaechen in S4 mit zwei konstanten
Kruemmungsfunktionen
(Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
Zurueckgehend auf Klassifikationsansaetze von E. Cartan kann man sich die
Frage stellen, welcher Klassifikation geschlossene Hyperflaechen in S4
genuegen, fuer welche zwei der folgenden Kruemmungsgroessen konstant sind:
H (mittlere Kruemmung), K (Gauss-Kronecker Kruemmung) und R
(Skalarkruemmung). Eine derartige Klassifikation wurde vor kurzem von
S. Almeida, F. Brito und L. Sousa jr. vorgestellt. Die Entwicklung zum
Thema soll samt der Ergebnisse ausgearbeitet werden.
-
Visualisierung von geschlossenen zeitartigen Kurven
(Scherfner; Diplom/Master)
In der semi-Riemannschen Geometrie gibt es die Moeglichkeit, nach
"zeit-, raum-, und lichtartig" zu unterscheiden. Neben
zahlreichen Klassifikationsresultaten ueber Hyperflaechen mit derartigen
Eigenschaften laesst sich auch die - im Vergleich - einfache
Frage stellen, welche Metriken ueberhaupt zeitartig geschlossene Kurven
zulassen. Diese lassen sich dann haeufig mit ueberschaubaren Methoden explizit
angeben. Teil der Arbeit soll es sein, diese in interessanten
Spezialfaellen zu visualisieren. Dies soll die Erlebnisse eines
"Zeitreisenden" begreifbarer machen.
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