TU Berlin Fakultät II
Institut für Mathematik
     

Arbeitsgruppe Geometrie

       

  

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Sudierendenseminar Differentialgeometrie SS 07

Inhalt

In diesem Seminar werden Vorträge zu unterschiedlichen Themen, die im Zusammenhang mit den aktuellen Forschungsinteressen unserer Arbeitsgruppe stehen, gehalten. Dieses Seminar soll Diplomstudenten bei der Einarbeitung in ein Diplomarbeitsthema helfen. Bachelorstudenten können eine erweiterte Ausarbeitung zum Vortragsthema als Bachelorarbeit einreichen.

Termine

Das Seminar findet in diesem Semester, wegen zu geringer Beteiligung, nicht statt. Interessenten für ein Diffgeoseminar im WS 07/08 schreiben bitte eine E-Mail an Paul Peters.

Themen

Zu jedem Thema sind Ansprechpartner und die Eignung für Bachelor- , Diplom- bzw. Masterarbeit angegeben.

Vergebene Themen sind mit dem Namen des Vortragenden gekenzeichnet.

Verantwortlich

Dieses Seminar wird von durchgeführt.

Ausführliche Beschreibung einiger Themen

  • Der "Mountain-Pass"-Satz und Anwendungen in der Theorie der Minimalflächen (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
    In der Geometrie gibt es zahlreiche Probleme, deren Lösungen sich als Extrema bestimmter Energiefunktionale beschreiben lassen. So sind z.B. Geodätische Riemannscher Mannigfaltigeiten und Minimalflächen kritische Punkte solcher Funktionale. Ein interessanter Satz ist der Satz von Ambrosetti-Rabinowitz (der sog. "Mountain-Pass"-Satz). Dieser ist schön zu veranschaulichen und ein Existenzsatz der Variationsrechnung, der - unter bestimmten Voraussetzungen an das betrachtete Funktional - Sattelpunkte garantiert. Dies macht ihn insbesondere in Bezug auf Minimalflächen interessant. Dieser Zusammenhang soll beleuchtet werden.
  • Existenz konformer Vektorfelder und spezielle Folgerungen (Scherfner; Diplom/Master)
    Die Lie-Ableitung ist eine wunderbare Moeglichkeit, um Symmetrien in der semi-Riemannschen Geometrie zu untersuchen. Ausgezeichnet sind die sog. Killingfelder, fuer welche die Lie-Ableitung verschwindet. Man findet damit "Richtungen", in denen sich die Metrik nicht aendert. Neben moeglichen Klassifikationen von Metriken ueber Strukturkonstanten gibt es aber auch die Moeglichkeit, die Symmetrie physikalisch zu interpretieren. Neben der ueblichen Killing-Gleichung kann man die Lie-Ableitung aber auch gleich dem (nicht notwendig konstanten) Vielfachen der Metrik setzen. Man betrachtet dann sog. konforme (Killing-) Vektorfelder, deren Existenz teils erstaunliche Folgerungen in der Relativitaetstheorie gestattet. Neben den mathematischen Grundlagen sollen einige davon diskutiert werden. (Master/Diplom)
  • Killing-Vektorfelder fuer verschiedene Lorentzmetriken (Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
    Wie bei obigem Thema angedeutet, gibt die Existenz von Killing-Vektorfeldern teils Aufschluss ueber wesentliche Eigenschaften physikalisch relevanter Objekte. Daher spielt die explizite Kenntnis solcher Vektorfelder bei der Untersuchung von Raumzeiten (spezielle Lorentzmetriken) eine bedeutende Rolle. Exemplarisch sollen diese fuer einige Metriken berechnet - und die Konsequenzen diskutiert - werden.
  • Geschlossene Hyperflaechen in S4 mit zwei konstanten Kruemmungsfunktionen (Scherfner; Bachelor/Diplom/Master)
    Zurueckgehend auf Klassifikationsansaetze von E. Cartan kann man sich die Frage stellen, welcher Klassifikation geschlossene Hyperflaechen in S4 genuegen, fuer welche zwei der folgenden Kruemmungsgroessen konstant sind: H (mittlere Kruemmung), K (Gauss-Kronecker Kruemmung) und R (Skalarkruemmung). Eine derartige Klassifikation wurde vor kurzem von S. Almeida, F. Brito und L. Sousa jr. vorgestellt. Die Entwicklung zum Thema soll samt der Ergebnisse ausgearbeitet werden.
  • Visualisierung von geschlossenen zeitartigen Kurven (Scherfner; Diplom/Master)
    In der semi-Riemannschen Geometrie gibt es die Moeglichkeit, nach "zeit-, raum-, und lichtartig" zu unterscheiden. Neben zahlreichen Klassifikationsresultaten ueber Hyperflaechen mit derartigen Eigenschaften laesst sich auch die - im Vergleich - einfache Frage stellen, welche Metriken ueberhaupt zeitartig geschlossene Kurven zulassen. Diese lassen sich dann haeufig mit ueberschaubaren Methoden explizit angeben. Teil der Arbeit soll es sein, diese in interessanten Spezialfaellen zu visualisieren. Dies soll die Erlebnisse eines "Zeitreisenden" begreifbarer machen.

Paul Peters . 01.11.2007.