Arbeitsgruppe Geometrie

Mathematische Visualisierung II (Sommer 2012)

Projekte

Projekt I: Abstandfunktion auf gekrümmten Flächen

Katharina Hoffmann, Michael Reinke

Es ist möglich durch den Hitzefluss auf skalaren Funktionen die Abstandsfunktion auf einer Fläche zu berechnen. Die Methode wird in einem aktuellen Artikel beschrieben.

• Crane, Weischedel, Wardetzky - Geodesics in Heat

Projekt II: Feature-Erkennung durch Mean Curvature Flow

Alex Gürten, Daniel Rehfeld

Der Mean Curvature Fluss ist der Fluss unter dem der Flächeninhalt einer Fläche am schnellsten schrumpft. Während des Flusses degeneriert die Fläche in aler Regel in bestimmten Bereichen. Dies kann genutzt werden um Features der Geometrie zu erkennen.

Projekt III: Desingularisierter Mean Curvature Flow

Yunmo Xie

Was in Projekt II benutzt werden soll um Features zu erkennen, kann für andere Absichten verhehrend sein. Es gibt Versuche den Mean Curvature Fluss zu desingularisieren. Eine Variante soll in diesem Projekt implementiert werden.

• Kazhdan, Solomon, Ben-Chen - Can Mean-Curvature Flow be made Non-Singular?

Projekt IV: Konform parametrisierte Tori

Miriam Schlöter, Leif Naundorf

Mithilfe der Hopf-Abbildung ist es möglich aus geschlossenen sphährischen Kurven konform parametrisierte Tori in S³ zu konstruieren. Die Hauptaufgabe dieses Projekts liegt in deren Visualisierung in R³. Es soll möglich sein, geschlossene Kurven auf der Sphähre zu editieren und die dadruch erzeugte stereographisch in den Raum projizierte Fläche mithilfe eines Möbius Transformation Tools gut zu kontrollieren.

• Pinkall - Hopf Tori in S³
• Banchoff - Geometry of the Hopf Mapping and Pinkall's Tori of Given Conformal Type

Projekt V: Konforme Flächendeformation

Robert Volkmann

Mithilfe des Dirac Operators ist es möglich Flächen konform zu deformieren. Dazu wird die Änderung der mittleren Krümmungshalbdichte vorgegeben und die entsprechende Spin Transformation berechnet. Aus dieser kann dann die Fläche rekonstruiert werden.

• Crane, Pinkall, Schröder - Spin Transformations of Discrete Surfaces

Projekt VI: Dualer Laplace Operator in 2D

Andreas Staab

Der Laplace Operator hat inzwischen den Weg in viele Anwendungen - vor allem in der Computer Grafik - gefunden. Der duale Laplace Operator kann jedoch abhängig von der Triangularisierung einige sehr schlechte Eigenschaften besitzen. Solche Triangularisierungen treten in der Praxis häfig auf. in diesem Projekt soll das Verhalten auf solchen kritischen Netzen untersucht werden.

• Wardetzky, Mathur, Kälberer, Grinspun - Discrete Laplace operators: No free lunch
• Bobenko - Delaunay Triangulations of Polyhedral Surfaces, a Discrete Laplace-Beltrami Operator and Applications