Funktionen mehrerer Veränderlicher

1. ÜBUNG

1. Berechnen Sie sämtliche partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung nach x und y: a) u = ϕ(ξ, η), ξ = x + y, η = x − y

b) u = ϕ(ξ, η), ξ = x^{2} + y^{2}, η = xy

c) z = f(u), u = ϕ(x, y)

2. Zeigen Sie:

a) f(x, t) = \frac{1}{2a\sqrt{πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4ta^{2}}} (a const.) ist eine Lösung von

\frac{∂f}{∂t} = a^{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} .

b) f(x, y) = ϕ(y + ax) + ψ(y − ax) (a const., ϕ(.), ψ(.) ∈ C^{2}) ist Lösung von

a^{2} \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} − \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = 0.

3. Zeigen Sie,daß △u = 0 folgende Lösungen besitzt:

a) für n = 2 : u = ln r,

b) für n ≥ 3 :  u = r^{2−n} ,  r^{2} = ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}.

4. Zeigen Sie für harmonische Funktionen u (△u = 0, u ∈ C^{∞}) (n=2):

a) f(z) = ∂u/∂x − i∂u/∂y ist holomorph (komplex differenzierbar).

b) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) holomorph ⇒ u,v harmonisch.

c) v = ∂u/∂x − ∂u/∂y ist harmonisch.

5. Lösen Sie (mittels Analogien zu gew. DGLn.):

a) u_{yy} + u_{y} + x = 0;

b) u_{xx} + y = 1/x;

c) z_{xy} + yz_{x} − xz_{y} = 0 (nur partikuläre Lösungen gesucht; verwenden Sie dabei den Ansatz z(x, y) = z_{1}(x)z_{2}(y)).