Schwache Lösungen

8. ÜBUNG

1. Für welche ganzzahligen s gehören die folgenden Funktionen zu H^{s}(−1, 1) ?

a) f(x) = |x|

b) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2}, x < 0 \\ x^{3}, x ≥ 0 \end{matrix}

2. Leiten Sie die schwache Formulierung zu folgenden Randwertproblemen her:

a)

div[k(x)(∇u)(x)] = f(x) in Ω,
\frac{∂u}{∂n}(x) = g(x) auf ∂Ω

b)

(Δu)(x) = f(x) in Ω,
\frac{∂u}{∂n}(x) = g_{2}(x) auf Γ_{2},
\frac{∂u}{∂n}(x) + α(x)u(x) = g_{3}(x) auf Γ_{3} (∂Ω = Γ_{2} ∪ Γ_{3}).

3. Gegeben sei ein glattes Gebiet Ω, welches durch eine glatte Kurve Γ_{i} in eine linke und rechte Hälfte geteilt wird. Die Lösung u soll die schwache Formulierung der folgenden Differntialgleichung erfüllen:

div [a(x)grad u] = f in Ω,
u(x) = 0 auf ∂Ω.

Dabei soll a(x) im jeweiligen Teilgebiet positiv und konstant sein:

a(x) = \{ \begin{matrix}a_{1} in Ω_{1} \\ a_{2} in Ω_{2} \end{matrix}

Welchen Beziehungen muß die schwache Lösung u dieser Aufgabe auf der Kurve Γ_{i} genügen? Setzen Sie dazu voraus, daß u ∈ H^{2}(Ω_{j}) (j = 1, 2) gilt.