FEM

9. ÜBUNG

1. Sei u die schwache Lösung einer Randwertaufgabe mit Δu = 0. Außerdem gelte u|_{Γ} ≤ M fast überall. Zeigen Sie, daß dann auch u ≤ M f.ü. auf Ω gilt (Schwaches Maximumprinzip). Hinweis: Verwenden Sie als Testfunktion φ = (u − M)^{+}. Diese Funktion ist 0, falls u < M gilt, und u − M sonst. Verwenden Sie dabei, daß diese Funktion zu H^{1}(Ω) gehört.

2. Im Hilbertraum V sei ein Randwertproblem in schwacher Formulierung

a(u, v) = f(v) ∀v ∈ V  (1)

gegeben. Dabei seien a(., .) eine Bilinearform mit |a(u, v)| ≤ μ_{1}∥u∥∥v∥, a(v, v) ≥ μ_{2}∥v∥^{2} ∀u, v ∈ V, und f ∈ V^{∗}. (1) werde näherungsweise mittels FEM gelöst, der Raum der FEM–Basisfunktionen sei V_{h} ⊂ V. Es seien u die Lösung von (1) und u_{h} die FEM– Näherungslösung, d. h.

a(u_{h}, v_{h}) = f(v_{h}) ∀v_{h} ∈ V_{h}.

Beweisen Sie folgende Fehlerabschätzung (Lemma von Céa):

∥u − u_{h}∥ ≤ \frac{μ_{1}}{μ_{2}} inf_{v_{h}∈V_{h}} ∥u − v_{h}∥.

3. Im Quadrat Ω der Seitenlänge 3 sei das Randwertproblem

−Δu + u = f  in Ω,
u = 0 auf ∂Ω

mittels FEM–Approximation zu lösen. Das Gebiet sei auf die dargestellte Weise vernetzt. Berechnen Sie die zum mit “*“ gekennzeichneten Element gehörige Elementmatrix (Beachten Sie die Gestalt der Bilinearform !).

*