\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1994/12/01]

\documentclass[11pt,draft]{article}
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\Dozent{Ferus}
\Assi{Peters}
\Semester{SS 02}
\Lehrveranstaltung{Analysis II}
\www{\footnotesize \texttt{http://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS02/AnalysisII}}

\begin{document}
\begin{uebung}
  {6} % Nummer 
  {4.6.} % Abgabedatum
  {Ableitung, Ketten-- und Produktregel} % Thema
  
  Auf dem gesamten Blatt seien $U$, $V$ und $W$ endlich--dimensionale
  Banachr"aume.

  \medskip

  \uebungsaufgaben

  \begin{ueaufgabe}
    Sei $H=\theset{(x_1,x_2,x_3)\in\R^3}{x_1^2+x_2^2-x_3^3=-1,x_3>0}$ eine
    Schale des zweischaligen Hyperboloids. Schreiben Sie $H$ als Graphen einer
    Funktion $f$. Geben Sie die Tangentialebenen an $H$ in Parameterform an.
    Sei $\mu(x,y):=x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$, dann ist $\mu((p,f(p)),(v,D_pf(v)))=0$ f"ur
    alle $p\in\R^2$ und $v\in\R^2$. Was bedeutet das f"ur die Tangentialebenen
    von H?
  \end{ueaufgabe}

  \begin{ueaufgabe}
    Sei $\gamma\colon \R\supset I\to \R^3$ eine 3--mal differenzierbare Kurve.
    Bestimmen Sie $D(\dot\gamma \times \ddot\gamma)$ mit Hilfe der
    Produktregel.
    
    Sei $\| \dot\gamma \|\equiv1$. Zeigen Sie mit Hilfe der
    Produktregel, dass dann
    $\<\dot\gamma,\ddot\gamma\>\equiv0$ ist. Was bedeutet $D(\dot\gamma \times
    \ddot\gamma)\equiv0$ f"ur die Kurve $\gamma$?
  \end{ueaufgabe}

%   \begin{ueaufgabe}
%     Sei $p\in V$ und 
%     \[
%       K_p=\theset{\gamma\colon\, ]-\epsilon,\epsilon[\,\to W}
%       {\epsilon\in\R_{>0}, \gamma(0)=p, \gamma \text{ differenzierbar}}.
%     \]
%     Dann definiert 
%     \[
%       \gamma \sim \delta :\liff \dot\gamma(0)=\dot\delta(0)
%     \]
%     eine "Aquivalenzrelation auf $K_p$, f"ur die gilt
%     $\gamma\sim\delta$ genau dann, wenn f"ur jede differenzierbare Abbildung
%     $f\colon V\to \R$ gilt $(f\circ \gamma)'(0) = (f\circ \delta)'(0)$. 

%     Seien $\gamma,\delta\in K_p$ "aquivalent. Dann ist 
%     $\dot{\widehat{f\circ\gamma}}(0) = \dot{\widehat{f\circ\delta}}(0)$ und
%     $f(p) + \dot{\widehat{f\circ\gamma}}(0)$ liegt in der Tangentialebene an
%     den Graphen von $f$ in $(p,f(p))$.
%   \end{ueaufgabe}

%   \begin{ueaufgabe}
%     Sei $V$ n--dimensional, $f\colon V\to W$ differenzierbar, $x\colon
%     V\to\R^n$ bijektiv und $x$, $x^{-1}$ differenzierbar. Schreibe
%     \[
%       x=\tvector{x_1\\ \vdots \\ x_n}=\sum_{i=1}^n x_i e_i.
%     \]
%     Dann gilt $D_pf = \sum_{i=1}^nD_{x(p)}(f\circ x^{-1})(e_i)D_px_i$. 
    
%     Mit der Definition $\pd f{x_i}(p):=D_{x(p)}(f\circ x^{-1})(e_i)$ schreibt
%     man daf"ur auch
%     \[
%       df = \sum_{i=1}^n\pd f{x_i} dx_i.
%     \]

%     Sei $y\colon \R^n\to\R^n$ eine bijektive Abbildung und $y$, $y^{-1}$
%     differenzierbar, dann ist
%     \[
%       df = \sum_{i=1}^n\pd f{y_i} \pd{x_i}{y_i}  dy_i
%          = \sum_{i=1}^n\pd f{(y\circ x)_i}  d(y\circ x)_i
%     \]
    
%     Sei $f\colon \R\to\R$ und $x\colon\R\to\R, x\mapsto x$. Dann gilt
%     \[
%       d_pf = \pd{f}{x}(p) dx = f'(p) dx.
%     \]
%   \end{ueaufgabe}


  \tutoriumsaufgaben

  \begin{taufgabe}
    Zeigen Sie mit Hilfe der Produkt-- und Kettenregel, dass die folgenden
    Abbildungen differenzierbar sind, und geben Sie ihre Ableitungen an:
    \begin{itemize}
    \item $f\colon\R^3\to\R^3,\qquad (x,y,z)\mapsto(xz,\sin(x^2+y^2),z)$,
    \item $g\colon L(V,W)\times L(U,V)\to L(U,W),\qquad (A,B)\mapsto A\circ B$.
    \end{itemize}
  \end{taufgabe}

  \begin{taufgabe}
    \begin{itemize}
    \item[a)] Seien $p$, $v\in V$. Geben Sie ein Beispiel f"ur eine
      differenzierbare Kurve $\gamma\colon \R\supset\,]-\epsilon,\epsilon[\,\to
      V$ mit $\gamma(0)=p$ und $\dot\gamma(0)=v$ an.
    \item[b)] Sei $\gamma$ eine differenzierbare Kurve wie in a) und $f\colon
      V\to W$ differenzierbar. Dann gilt f"ur alle $v\in V$:
      $D_pf(v)=\dot{\widehat{f\circ\gamma}}(0)$.
    \item[c)] Sei $f\colon V\to W$ differenzierbar. Dann sind die folgenden
      Bedingungen "aquivalent:
      \begin{enumerate}
      \item[(i)] $Df=0$.
      \item[(ii)] F"ur alle differenzierbaren Kurven $\gamma\colon
        \R\supset\,]-\epsilon,\epsilon[\,\to W$ gilt 
        \smash{$\dot{\widehat{f\circ\gamma}}=0$}.
      \item[(iii)] Die Abbildung $f$ ist konstant.
      \end{enumerate}
    \end{itemize}
  \end{taufgabe}

\pagebreak

  \hausaufgaben
  
  \begin{aufgabe}{7} % Punkte
    Eine Funktion $f\colon V\to W$ heisst positiv homogen vom Grade $k\in\N$,
    falls $f(tv)=t^kf(v)$ f"ur alle $t>0$ und $v\in V$.
    \begin{itemize}
    \item[a)] Ist $f$ positiv homogen vom Grade $k$ und differenzierbar f"ur
      alle $v\in V\setminus\{0\}$, so gilt f"ur alle $v\in V$: $D_vf(v)=kf(v)$.
    \item[b)] Sei $k\in N$, $f(0)=0$, $f$ differenzierbar f"ur alle $v\in
      V\setminus\{0\}$ und $D_vf(v)=kf(v)$. Dann ist $f$ positiv homogen vom
      Grade $k$ (Hinweis: Betrachten Sie $]0,\infty[\,\to W$, $t\mapsto
      t^{-k}f(tv)$. 
    \end{itemize}
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}{6}
    Sei $f\colon \R^2\supset U_1(0)\to\R^3$, $(x,y)\mapsto
    (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$. 
    \begin{itemize}
    \item[a)] Zeigen Sie, dass $f$ differenzierbar ist, und geben Sie
      $Df$ an.
    \item[b)] Zeigen Sie, dass $\< f(p), D_p f(v) \> = 0$ f"ur
      alle $p\in U_1(0)$ und $v\in\R^2$.
    \item[c)] $f$ beschreibt den Graphen einer Funktion --- welcher? Was
      bedeutet b) f"ur die Tangentialebenen an den Graphen dieser Funktion?
    \end{itemize}
    (zu b): $\langle x, y \rangle := x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$)
  \end{aufgabe}

  
  \begin{aufgabe}{2}
    Sei $A\in L(V,W)$. Bestimmen Sie $D_v(D A)$ f"ur alle $v\in V$, d.h.
    die Ableitung von $D A \colon V \to L(V,W)$.
  \end{aufgabe}

\end{uebung}

\end{document}

