\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1994/12/01]

\documentclass[11pt,draft]{article}
\usepackage{german,amsmath,amssymb,uebung,paul,a4}

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%\textwidth 14cm 
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\Dozent{Ferus}
\Assi{Peters}
\Semester{SS 02}
\Lehrveranstaltung{Analysis II}
\www{\footnotesize 
  \texttt{http://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS02/AnalysisII}}

\begin{document}
\begin{uebung}
  {7} % Nummer 
  {11.6.} % Abgabedatum
  {Partielle Ableitungen, Jacobi--Matrix, Kugel-, Zylinder-, Polarkoordinaten} % Thema

  \uebungsaufgaben

  \begin{ueaufgabe}[(Zylinderkoordinaten)]
    Sei 
    \begin{align*}
      Z\colon \R^3\to\R^3, \qquad 
      \tvector{r\\\varphi \\z}\mapsto
         \tvector{r\cos\varphi \\r\sin\varphi \\ z}.
    \end{align*}
    \begin{itemize}
    \item[a)] Skizzieren Sie die Bildmengen der Ebenen $r=\text{const}$,
      $\varphi=\text{const}$ und $z=\text{const}$.
    \item[b)] Berechnen Sie die Jacobi--Matrix von $Z$. Ist $Z$
      differenzierbar?
    \item[c)] Sei $f\colon \R^3\setminus\theset{(x,y,z)\in\R^3}{y\neq0}
      \to\R^2$, $(x,y,z)\mapsto (x^2+y^2)(1,\frac{xz}y)$. Bestimmen Sie die
      Jacobi--Matrizen von $f$ und $f\circ
      Z\at{\theset{(r,\varphi,z)\in\R^3}{r\sin\varphi\neq0}}$ und "uberpr"ufen
      Sie die Kettenregel. Sind $f$ und $f\circ
      Z\at{\theset{(r,\varphi,z)\in\R^3}{r\sin\varphi\neq0}}$ differenzierbar?
    \end{itemize}
  \end{ueaufgabe}

  \begin{ueaufgabe}[(Ableitung von Parameterintegralen)]
    Sei $f\colon \R^2\supset [a,b]\times [c,d]\to\R$ stetig und in der ersten
    Variablen stetig partiell differenzierbar.
    \begin{itemize}
    \item[a)] Dann ist die Abbildung $[a,b]\to\R$, $t\mapsto\int_c^d f(t,x) dx$
      differenzierbar und
    \[
      \pd{}{t} \int_c^d f(t,x) dx = \int_c^d \pd{f}{t}(t,x)dx.
    \]
    \item[b)] Seien $h$, $g\colon\R\to\R$ differenzierbar, dann gilt:
%       \[
%         \pd{}{x}\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dx 
%           = \int_{g(x)}^{h(x)} \pd{f}{x}(x,y) dx +
%           f(x,h(x))h'(x) - f(x,g(x))g'(x).
%       \]
    \end{itemize}
      \[
        \pd{}{t}\int_{g(t)}^{h(t)} f(t,x) dx 
          = \int_{g(t)}^{h(t)} \pd{f}{t}(t,x) dx +
          f(t,h(t))h'(t) - f(t,g(t))g'(t).
      \]

    \begin{itemize}
    \item[c)] Sei $\alpha\colon[a,b]\to\R$ stetig differenzierbar,
      $\beta\colon[c,d]\to\R$ stetig und \\ $F\colon [a,b]\to\R$,
      $t\mapsto\int_c^d e^{\alpha(t)+\beta(x)}dx$.  Dann gibt es eine Konstante
      $C\in\R$, sodass
       \[
         \alpha(t)=\ln F(t) + C.
       \]
    \end{itemize}
  \end{ueaufgabe}

\pagebreak
  \tutoriumsaufgaben

  \begin{taufgabe}
    Diskutieren Sie den Zusammenhang von $n$--fach differenzierbar, $n$--fach
    partiell differenzierbar, $n$--fach stetig partiell differenzierbar und
    beliebig oft differenzierbar.
  \end{taufgabe}

  \begin{taufgabe}[(Polarkoordinaten)]
    Sei 
    \begin{align*}
      P\colon \R^2\to\R^2, \qquad
      \tvector{r\\\varphi}\mapsto r\tvector{\cos\varphi  \\ \sin\varphi }.
    \end{align*}
    \begin{itemize}
    \item[a)] Skizzieren Sie die Bildmengen der Geraden $r=\text{const}$ und
      $\varphi=\text{const}$.
    \item[b)] Berechnen Sie die Jacobi--Matrix von $P$. Ist $P$
      differenzierbar?
    \item[c)] Sei $f\colon \R^2\setminus\{0\} \to \R^2$, $(x,y)\mapsto \frac
      1{\sqrt{x^2+y^2}} (x,y)$. Bestimmen Sie die Jacobi--Matrizen von $f$ und
      $f\circ P\at{\theset{(r,\varphi)\in\R^2}{r\neq0}}$ und "uberpr"ufen Sie
      die Kettenregel. Sind $f$ und $f\circ
      P\at{\theset{(r,\varphi)\in\R^2}{r\neq0}}$ differenzierbar?
    \end{itemize}
  \end{taufgabe}
  
  \hausaufgaben
  
  \begin{aufgabe}{5} % Punkte
    Sei
    \begin{align*}
      f(x,y):=\left\{
        \begin{aligned}
          &1&\quad &\text{falls $y-1=(x-1)^2>0$,}\\
          &0&&\text{sonst.}
        \end{aligned}\right.
    \end{align*}
    
    \begin{itemize}
    \item[a)] Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen von $f$ in
      $(1,1)$ existieren.
    \item[b)] Zeigen Sie, dass $f$ in $(1,1)$ nicht stetig ist.
    \item[c)] Ist $f$ differenzierbar in $(1,1)$? Zeigen Sie, dass $f$ in
      $(1,1)$ eine unstetige Richtungsableitung besitzt. Geben Sie eine solche
      Richtung an, und beweisen Sie die Unstetigkeit der entsprechenden
      Richtungsableitung.
    \end{itemize}
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}[(Kugelkoordinaten)]{10}
    Sei 
    \begin{align*}
      K\colon \R^3\to\R^3, \qquad
      \tvector{r\\\varphi\\ \theta} \to
      r\tvector{\sin\theta\cos\varphi  \\\sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta}.
    \end{align*}
    \begin{itemize}
    \item[a)] Skizzieren Sie die Bildmengen der Ebenen $r=\text{const}$,
    $\varphi=\text{const}$ und $\theta=\text{const}$.
    \item[b)] Berechnen Sie die Jacobi--Matrix von $K$. Ist $K$
      differenzierbar?
    \item[c)] Sei $f\colon \R^3\setminus\{0\} \to\R^3$, $(x,y,z)\mapsto\frac1
      {\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(xy,x,z)$. Bestimmen Sie die Jacobi--Matrizen von
      $f$ und $f\circ K\at{\theset{(r,\varphi,\theta)\in\R^3}{r\neq0}}$ und
      "uberpr"ufen Sie die Kettenregel. Sind $f$ und $f\circ
      K\at{\theset{(r,\varphi,\theta)\in\R^3}{r\neq0}}$
      differenzierbar?
    \end{itemize}
  \end{aufgabe}
\end{uebung}

\end{document}
