\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1994/12/01]

\documentclass[10pt,draft]{article}
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\Dozent{Ferus}
\Assi{Peters}
\Semester{SS 02}
\Lehrveranstaltung{Analysis II}
\www{\footnotesize \texttt{http://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS02/AnalysisII}}

\begin{document}
\begin{uebung}
  {10} % Nummer 
  {2.7.} % Abgabedatum
  {Umkehrsatz, Satz "uber implizite Funktionen} % Thema

  \uebungsaufgaben

  \begin{ueaufgabe}
    Vergleichen Sie den Umkehrsatz und den Satz "uber implizite
    Funktionen mit entsprechenden Aussagen "uber lineare
    Gleichungssysteme.
  \end{ueaufgabe}

  \begin{ueaufgabe}
    Sei $f\colon\R^2\to\R$ stetig differenzierbar, $p_0\in\R^2$, $\grad f(p_0)\neq0$,
    $M:=f^{-1}(\{f(p_0)\})$.  Zeigen Sie, dass es eine stetig differenzierbare
    Kurve $\alpha\colon\,]-\epsilon,\epsilon[\,\to M$ gibt mit $\alpha(0)=p_0$ und $\dot\alpha(0)\neq0$, und dass die
    folgenden vier Mengen gleich sind:
    \begin{align*}
      T_1&=\theset{v\in\R^2}{
        \exists \gamma:\,]-\epsilon,\epsilon[\,\to M \text{ mit }\gamma(0)=p_0,\,\dot \gamma(0)=v}, \\
      T_2&=\Kern D_{p_0}f,\\
      T_3&=\theset{v\in\R^2}{v\perp\grad f(p_0)}, \\
      T_4&=\Bild(D_0\alpha).
    \end{align*}
    Diese Menge nennt man den Tangentialraum $T_{p_0}M$ von $M$ in $p_0$.
  \end{ueaufgabe}

  \begin{ueaufgabe}
    Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen eindimensionale
    Untermannigfaltigkeiten des $\R^2$ sind, beschreiben Sie sie als
    Vereinigung von Graphen und geben Sie eine Gleichung f"ur ihre
    Tangentialr"aume an:
    \begin{itemize}
    \item[a)] $\text{Kreis}=\theset{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2=r^2}$, $r\neq0$,
    \item[b)] $\text{Ellipse}=\theset{(x,y)\in\R^2} {\left(\tfrac
          xa\right)^2+\left(\tfrac yb\right)^2=1}$, $a$, $b>0$,
    \item[c)] $\text{Hyperbel}=\theset{(x,y)\in\R^2} {\left(\tfrac
          xa\right)^2-\left(\tfrac yb\right)^2=\pm1}$, $a$, $b>0$.
    \end{itemize}
  \end{ueaufgabe}

  \pagebreak
  \tutoriumsaufgaben

  \begin{taufgabe}
    Zeigen Sie, dass $f\colon\R^2\to\R^2$, $(x,y)\mapsto(x^2-y^2,x^2+y^2)$ in
    $(x_0,y_0)\in\R^2$ genau dann lokal umkehrbar ist, wenn $x_0y_0\neq0$ ist.
  \end{taufgabe}

  \begin{taufgabe}
    Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen zweidimensionale
    Untermannigfaltigkeiten des $\R^3$ sind, beschreiben Sie sie als
    Vereinigung von Graphen und geben Sie eine Gleichung f"ur ihre
    Tangentialr"aume an ($a$, $b$, $c>0$):
    \begin{itemize}
    \item[a)] $\text{Sph"are}=\theset{(x,y,z)\in\R^3}{x^2+y^2+z^2=a^2}$,
    \item[b)] $\text{Ellipsoid}=\theset{(x,y,z)\in\R^3} {\left(\tfrac
          xa\right)^2+\left(\tfrac yb\right)^2 +\left(\tfrac zc\right)^2=1}$,
    \item[c)] $\text{zweisch. Hyperboloid}=\theset{(x,y,z)\in\R^3}
      {\left(\tfrac xa\right)^2+\left(\tfrac yb\right)^2 -\left(\tfrac
          zc\right)^2=-1}$,
    \item[d)] $\text{einsch. Hyperboloid}=\theset{(x,y,z)\in\R^3}
      {\left(\tfrac xa\right)^2+\left(\tfrac yb\right)^2 -\left(\tfrac
          zc\right)^2=1}$,
    \item[e)] $\text{Kegel}=\theset{(x,y,z)\in\R^3} {\left(\tfrac
          xa\right)^2+\left(\tfrac yb\right)^2 -\left(\tfrac zc\right)^2=0}$.
    \end{itemize}
  \end{taufgabe}


  \hausaufgaben
  
  \begin{aufgabe}{5} % Punkte
    Sei $f\colon\R^3\to\R$ eine stetig differenzierbare Funktion und $p_0\in\R^3$ mit
    $\grad f(p_0)\neq 0$; weiter sei $M:=f^{-1}(\{f(p_0)\})$ die H"ohenfl"ache von
    $f$, die $p_0$ enth"alt. Zeigen Sie: $M$ l"asst sich lokal als Graph "uber
    der Ebene $\Kern D_{p_0}f$ darstellen. Beschreiben Sie den Tangentialraum
    $T_{p_0}M:=\theset{v\in\R^3}{\exists \gamma:\,]-\epsilon,\epsilon[\,\to M \text{ mit }\gamma(0)=p_0,\, \dot
      \gamma(0)=v}$ durch eine lineare Gleichung und eine Parametrisierung (wie
    immer mit Beweis). Wie erh"alt man aus dem Tangentialraum die
    Tangentialebene an $M$ in $p_0$?
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}{5}
    F"ur welche $a,b,c\in\R$, sind die Kegelschnitte
    \[
      K=\theset{(x,y,z)\in\R^3} {x^2+y^2-z^2=0,\,ax+by=c}
    \]
    eindimensionale Untermannigfaltigkeiten des $\R^3$, beschreiben Sie
    diese als Vereinigung von Graphen und geben Sie eine Gleichung f"ur ihre
    Tangentialr"aume an. Skizzieren Sie die Kegelschnitte f"ur
    charakteristische Werte von $a$, $b$ und $c$.
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}{5}
    Sei $f\colon\R^3\to\R^3$, $(x,y,z)\mapsto(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)$. Zeigen Sie, dass $f$ in
    $(x_0,y_0,z_0)\in\R^3$ lokal invertierbar ist, wenn
    $(x_0-y_0)(y_0-z_0)(z_0-x_0)\neq0$. Bestimmen Sie die Jacobi--Matrix der
    Umkehrabbildung an der Stelle $f(x_0,y_0,z_0)$.
  \end{aufgabe}

  \begin{zaufgabe}{3}
    Zeigen Sie, dass man mindestens 3 Funktionen ben"otigt, um den
    Einheitskreis \emph{explizit}, d.h. als Vereinigung von Graphen,
    darzustellen. W"urdigen Sie die Tatsache, dass man den Einheitskreis
    \emph{implizit} bereits durch eine Gleichung beschreiben kann und die
    "`Ableitung"' dieser Gleichung eine Gleichung f"ur die Tangenten an den
    Einheitskreis liefert (geben Sie diese Gleichung an).
  \end{zaufgabe}
\end{uebung}

\end{document}
