TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Vektoranalysis

Partielle Differentialgleichungen - 2. Übung

1. (Vorrechenaufgabe) Zeigen Sie, daß v⃗ = (z^{2} + y^{2}, 2xy, 2xz) ein Potentialfeld ist und berechnen Sie das Potential U mit U(1, 1, 1) = 0!

2. (Vorrechenaufgabe) Für welches λ ist v⃗ = (x^{2} + 5λy + 3yz, 5x + 3λxz − 2, 2xy + λxy − 4z) Gradient eines Skalarfeldes U ?

3. Berechnen Sie !

a) ∇r  b) ∇\frac{1}{r}  c) ∇f(r)  d) ∇(a⃗ · r⃗)
e) ∇ · r⃗  f) ∇ × r⃗  g) (a⃗ · ∇)r⃗  h) (r⃗ · ∇)a⃗
i) ∇ · \frac{r⃗}{r}  j) ∇ · (r^{n}(a⃗ · r⃗)r⃗) k) ∇ · ((a⃗ × r⃗)r^{n}) l) ∇(r^{2}(a⃗ · r⃗) ln r)
m) ∇ × (r⃗r^{n}) n) ∇ × (a⃗ × r⃗) o) ∇ × (r⃗r^{n}(a⃗ · r⃗)) p) div grad \frac{1}{r}
q) ∇ · (∇ ln r) r) ∇(∇ · r⃗)  s) ∇(∇ · (a × r^{n}r⃗)) t) ∇ × (∇ × r^{2}a⃗)

4. Beweisen Sie a) rot grad U = ∇ × ∇U = 0 b) div rot v⃗ = ∇ · (∇ × v⃗) = 0 !

5. (Vorrechenaufgabe) Überführen Sie die folgenden Gleichungen in Kurz- bzw. Langschreibweise:

a) u_{xyz} + u_{xxxy} + u_{zyz} = 0,

b) D_{x}^{(0,2,2)}u + D_{x}^{(3,0,0)}u + D_{x}^{(1,2,1)}u = 0.

6. (Vorrechenaufgabe) Sind folgende PDEs linear, semilinear, quasilinear oder nichtlinear ?

a) (u_{xyz})^{2} + u_{xxxy} + u · u_{zyz} = 0,

b) u_{xyz} + x^{3}u_{xx} + yzu_{xz} = 0.

c) u_{x}^{3} + u_{y} + u_{z}^{2} = 0,

d) uu_{xx} + u_{yy} = 0.