TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

Partielle Differentialgleichungen - 3. Übung

1. Berechnen Sie die Darstellung des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten des R^{3}!

2. (Vorrechenaufgabe) Lösen Sie folgende (quasi-)lineare PDGL 1. Ordnung: a) axu_{x} + byu_{y} = 0, a, b ∈ IR

b) xzu_{x} + yzu_{y} − (x^{2} + y^{2})u_{z} = 0

c) xu_{x} + yu_{y} + (x^{2} + y^{2})u_{z} = 0

d) xu_{x} + yu_{y} = u

e) xzu_{x} − yzu_{y} + (y^{2} − x)u_{z} = 0. Hinweis: Für die Ermittlung der Charakteristiken muß man häufig das Differentialgleichungssystem gar nicht vollständig auflösen. Man nutzt dazu die Beziehungen

\frac{d}{dt}x^{2} = 2xẋ bzw. \frac{d}{dt} ln x = \frac{ẋ}{x}.

3. (Vorrechenaufgabe) Lösen Sie folgende Cauchysche Anfangswertaufgaben: a) zu Aufgabe 2a): u(x, x) = 4x^{2}.

b) zu Aufgabe 2c): u(x, y, 1) = x^{2} + y^{2}.

c) au_{x} + bu_{y} = c (a, b, c ∈ IR a = | 0) mit Anfangswert u(0, y) = y.