TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Distributionen

Partielle Differentialgleichungen - 8. Übung

1. (Vorrechenaufgabe) Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Lösung folgender Randwertaufgaben (dabei seien k > 0, h ≥ 0 Konstanten) :

a) Δu = f in G, \frac{∂u}{∂ν} + hu = g auf Γ (h > 0)

b) −Δu + ku = f in G, \frac{∂u}{∂ν} = g auf Γ

c) −Δu + ku = f in G, \frac{∂u}{∂ν} + hu = g auf Γ.

Hinweis: Multiplizieren Sie die Differentialgleichung mit einer “Testfunktion“ integrieren Sie über G und verwenden Sie (3). (Benötigte Glattheitsvoraussetzungen seien erfüllt.)

2. Zeigen Sie, daß die durch die Funktionen

δ_{ε}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2ε} & für & |x| ≤ ε \\ 0 & für & |x| > ε \end{matrix}

erzeugten Distributionen für ε → 0 in D′(IR) gegen die Delta-Distribution konvergieren.

3. Zeigen Sie, daß die durch die Funktionen

δ_{ε}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{ε} (1 − \frac{|x|}{ε}) & für & |x| ≤ ε \\ 0 & für & |x| > ε \end{matrix}

erzeugten Distributionen für ε → 0 in D′(IR) gegen die Delta-Distribution konvergieren.

4. Geben Sie eine Funktionenfolge ϕ_{n} ∈ D(IR^{n}) an, für die die entsprechenden Distributionen T_{ϕ_{n}} gegen δ konvergieren. (Hinweis: Schauen Sie sich Abschnitt 5.1.2 Beispiel 1 an.)

5. (Vorrechenaufgabe) Berechnen Sie die erste und zweite verallgemeinerte Ableitung von f(x) = |x|, betrachtet als Element von D′(IR).