TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Schwache Ableitungen

Partielle Differentialgleichungen - 9. Übung

1. Es sei f(x) = e^{1/x}. Zeigen Sie, daß von f eine Distribution T_{f} ∈ D′(IR\{0}) erzeugt wird, daß es jedoch keine Fortsetzung f̃ von f auf IR gibt, die eine Distribution Tf̃ ∈ D′(IR) erzeugt. Betrachten Sie dazu eine Folge von Testfunktionen f_{n}, auf die die Distribution angewandt werden soll, mit f_{n}(x) = e^{−n/2}nf_{0}(nx), f_{0} ∈ D, f_{0} ≥ 0, f_{0} ≢ 0, supp f_{0} ⊂ [1, 2].

2. (Vorrechenaufgabe) Es sei M ⊂ IR^{n} eine n − 1– dimensionale Mannigfaltigkeit, f ∈ L^{1}(M). Zeigen Sie, daß durch

T_{f}^{M}(ϕ) = ∫_{M} f(x)ϕ(x) ds (ϕ ∈ D(IR^{n}))

eine Distribution definiert wird.

3. Wir betrachten den Raum H_{o}^{1}(−a, a), (a > 0 fest) und das verkürzte Skalarprodukt. Nach den Einbettungssätzen wissen wir, dass diese Funktionen (wegen n = 1) stetig sind. Daher stellt die δ-Distribution ein stetiges Funktional dar. Natürlich liegt δ nicht im Raum H_{o}^{1}. Nach dem Satz von Riesz muss es aber ein Element g aus H_{o}^{1} geben, so dass

f(0) = (g, f)_{H_{o}^{1}(−a,a)} ∀f ∈ H_{o}^{1}(−a, a)

gilt. Man bestimme dieses Element.

4. (Vorrechenaufgabe) Für welche ganzzahligen s gehören die folgenden Funktionen zu H^{s}(−1, 1) ?

a) f(x) = |x|

b) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2}, x < 0 \\ x^{3}, x ≥ 0 \end{matrix}