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Lineare Algebra I - SS04
Inhaltsverzeichnis
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Vorlesungsdetails:
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UE 1 ,
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UE 2 ,
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UE 11 ,
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UE 12 ,
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VL 26 ,
1. Vorlesung, Di. 13.4.2004
[0] Propädeutik
I Warum LinAlg?
II Was ist LinAlg?
Wurzeln der Theorie
Theorie als Sprache
III Anwendungsbeispiele
[A] Statik
[B] Rekursion
1. Uebung, Mi. 14.4.2004
Lineare Algebra und analytische Geometrie
Punkte <-> Vektoren <-> Richtungen
Operationen in der Ebene
[A] Verschiebungen
[B] Streckungen
[C] Drehungen
[D] Spiegelungen
(Fischer Kap. 0.1 u.a.)
2. Vorlesung, Do. 15.4.2004
[B] Rekursion
[C] Markov-Prozesse
weitere Beispiele
[1] Grundbegriffe
1.1 Mengen und Abbildungen
injektiv, surjektiv, bijektiv
(Fischer Kap. 1.1)
3. Vorlesung, Di. 20.4.2004
Komposition von Abbildungen
Äquivalenzrelationen
1.2 Gruppen
Definition
Beispiele
Rechenregeln
Untergruppen
(Fischer Kap. 1.1-1.2)
2. Uebung, Mi. 21.4.2004
Gruppen
Definition
Gruppen mit wenig Elementen
Permutationen, Symmetrische Gruppe
Ordnung von Elementen einer Gruppe
4. Vorlesung, Do. 22.4.2004
Symmetriegruppe des Sechsecks
Homomorphismen
Beispiele
Kern und Bild eines Homomorphismus
Äquivalenzklassen von G/Ker(f)
Beispiele
(Fischer Kap. 1.2)
5. Vorlesung, Di. 27.4.2004
1.3 Ringe, Körper, Polynome
Ringe
Körper
Die komplexen Zahlen
(Fischer Kap. 1.3)
3. Uebung, Mi. 28.4.2004
Komplexe Zahlen
Historische Motivation
Darstellungen
Rechenregeln
Gruppenhomomorphismen
Beispiel
(Fischer Kap. 1.3.4.b), Beutelspacher Kap. 2.2 u.a.)
6. Vorlesung, Do. 29.4.2004
Polynome
Polynomring K[x] über K
Polynomdivision mit Rest
Nullstellen/Fundamentalsatz
(Fischer Kap. 1.3)
7. Vorlesung, Di. 4.5.2004
1.4 Vektorräume
Vektorraum
Untervektorraum
Lineares Erzeugnis
(Fischer Kap. 1.4)
4. Uebung, Mi. 5.5.2004
Polynome
Polynomring
Nullstellen
Polynomdivision
Kriterium von Eisenstein
Komplexkonjugierte Nullstellen
reelle Polynome 3ten Grads.
(Fischer Kap. 1.3.5-1.3.10), Beutelspacher Kap. 6 u.a.)
8. Vorlesung, Do. 6.5.2004
Lineare Unabhängigkeit
1.5 Basis
Basis = min erzeugend = max lin. unabh.
Austauschlemma
(Fischer Kap. 1.4-1.5)
9. Vorlesung, Di. 11.5.2004
Basen haben gleiche Kardinalität
Dimension
Basisergänzungssatz
Dimensionsberechnung im K^n
Matrizen und Zeilenstufenform
(Fischer Kap. 1.5)
5. Uebung, Mi. 12.5.2004
Geraden und Ebenen im Raum
Geraden in der Ebene
Parameterdarstellung
Geradengleichung
Parallelkität
Geraden und Ebenen im Raum
windschief, die 500000DM-Frage
Ebenengleichung
Parameterdarstellung der Ebene
Parallelität von Ebenen
Schnitt zweier Ebenen ist eine Gerade
(Fischer Kap. 0.2-0.3 u.a., eingeschränkt auch
Beutelspacher 4.1)
10. Vorlesung, Do. 13.5.2004
Elementare Zeilenumformungen
1.6 Summen und direkte Summen von Vektorräumen
Dimensionsformel
[2] Lineare Abbildungen
2.1 Beispiele und Definitionen
(Fischer Kap. 1.5,1.6,2.1)
11. Vorlesung, Di. 18.5.2004
Lineare Abbildungen und Matrizen
Hom(V,W)
2.2 Bild, Faser, Kern und Quotienten
Im(F), Kern(F)
Rang einer linearen Abbildung
Rang von Matrizenabbildungen
(Fischer Kap. 2.1,2.2)
6. Uebung, Mi. 19.5.2004
Lineare Unabhängigkeit, Spann, Matrizen
Berechnung des Spanns und seiner Dimension
Matrix mit Zeilenvektoren
Elementare Zeilenumformungen
Zeilenraum, Rang einer Matrix
Zeielnstufenform und Basen des Zeilenraums
Lineare Abbildungen und Matrizen
Definition einer linearen Abbildung
einige Eigenschaften
Lineare Abbildungen aus Matrizen
Bilder der Basisvektoren
Spalten der Matrix, Spaltenraum
12. Vorlesung, Di 25.5.2004
Fasern einer linearen Abbildung
Dimensionsformel für lineare Abbildungen
Faktorisierungssatz
Quotienten
(Fischer Kap. 2.2)
7. Uebung, Mi. 26.5.2004
Lineare Abbildungen und Matrizen II
Lineare Abbildungen aus Matrizen
Bilder der Basisvektoren
Spalten der Matrix, Spaltenraum
Transponierte Matrix
Zusammenhang mit ZR(A), SR(A), und Umformungen
Kern(A) und ZR(A)
Senkrecht, orthogonales Komplement
Darstellende Matrix einer linearen Abbildung
Berechnung bzgl. der Standard-Basis
Beispiel: Spiegelung an einer Geraden im R^2
13. Vorlesung, Do 27.5.2004
Quotientenabbildung
Universelle Eigenschaft von Quotienten
2.3 Lineare Gleichungssysteme
Gleichungssysteme und lineare Abbildungen
Lösungsräume
Zeilenrang und Spaltenrang
(Fischer Kap. 2.2,2.3)
14. Vorlesung, Di 1.6.2004
Zeilenstufenform und Lösungen
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen
F linear K^n -> K^m ist durch A aus M(m,n) darstellbar
F linear V -> W mit Basen (v1,..,vn) und (w1,..,wm) ebenso
Isomorphismus: Hom(V,W) <-> M(m,n)
(Fischer Kap. 2.3,2.4)
15. Vorlesung, Do 3.6.2004
Folgerungen aus dem Isomorphismus: Hom(V,W) <-> M(m,n)
2.5 Multiplikation von Matrizen
Definition und Beispiele
Komposition und Multiplikation
Exkurs: Dualraum und duale Abbildung
Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation
(Fischer Kap. 2.5)
16. Vorlesung, Di 8.6.2004
Invertierbare Matrizen
Die Gruppe GL(n,K)
Beispiele von Untergruppen von GL(n,K)
Matrizenmultiplikation und Rang
2.6 Koordinatentransformation
(Fischer Kap. 2.5,2.6)
8. Uebung, Mi. 09.6.2004
Lineare Abbildungen und Matrizen III
Darstellende Matrizen linearer Abbildungen zwischen beliebigen Vektorrämen
Koordinatenabbildungen
Spalten der Matrix = Koordinaten der Bilder der Basisvektoren
Beispiel:
Trigonometrische Funktionen, Ableitung
Lineare Unabhängigkeit
Darstellende Matrix
Bild und Kern
17. Vorlesung, Do 10.6.2004
Transformationsmatrix
Koordinatensysteme und Darstellung linearer Abb.
Normalform für rank r Abbildungen
Spaltenrang und zeilenrang (erneut)
(Fischer Kap. 2.6)
18. Vorlesung, Di 16.6.2004
2.7 Elementarmatrizen
Motivation: Lineares Gleichungssystem mit invertierbarer Matrix
Elementare Zeilenumformungen als Multiplikation mit Matrizen von links
Elementarmatrizen
Invertierbarkeit und Inverse
Elementare Spaltenumformungen als Multiplikation mit Matrizen von rechts
Invertierbare Matrizen als Produkt von Elementarmatrizen
Rechenverfahren zur Bestimmung der Inversen
(Fischer Kap. 2.7)
9. Uebung, Mi. 16.6.2004
Verknüpfung von linearen Abbildungen
Matrixprodukt
Exponentialfunktionen auf Matrizen
19. Vorlesung, Do 17.6.2004
Rechenverfahren zur Bestimmung der Inversen
Beispiel
Bestimmung von Transformationsmatrizen + Beispiel
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
(Fischer Kap. 2.7)
20. Vorlesung, Di 22.6.2004
Codierungstheorie
Codes
Hamming Abstand
Decodierung und Kugeln
Lineare Codes
(Beutelspacher, Kapitel 4.3)
10. Uebung, Mi. 23.6.2004
Polynome und Diskrete Fourier-Transformation
Interpolationspolynom
Vandermonde-Martix
Multiplikation von Polynomen
Komplexe Einheitswurzeln
Diskrete Fourier-Transformation
Rücktransformation
(Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Introduction to
Algorithms (2nd Edition), Kapitel 30)
21. Vorlesung, Do 24.6.2004
Minimalabstand und Gewicht
Generator- und Check-Matrix
Minimalabstand und Check-Matrix
Hamming Codes
(Beutelspacher, Kapitel 4.3)
22. Vorlesung, Di 29.6.2004
Reed-Solomon Codes
Permutationen
Zyklendarstellung
Typ und konjugierte
Transpositionen
11. Uebung, Mi. 30.6.2004
Polynome und Diskrete Fourier-Transformation
Beispiel
Codierung
Motivation
Fehlerbehebung
Prüfbits
Codevervielfachung
Hammingabstand
Lineare Codes
Minimalgewicht = Minimalabstand
Multiplikation von Polynomen
Fehlererkennung & -korrektur
23. Vorlesung, Do 1.7.2004
Das Signum
Benachbarte Transpositionen
Inversionen
Determinanten
Definition
Determinanten von Permutationsmatrizen
Leibniz Formel und Eindeutigkeit
24. Vorlesung, Di 6.7.2004
Laplace-Entwicklung und Existenz
Determinanten und Volumina
Berechnung von Determinanten
Weitere Eigenschaften von det
12. Uebung, Mi. 7.7.2004
LinAlg I- Landkarte
Zusammenfassung und Zusammenhänge
Determinanten
Definition
Rechenregeln
25. Vorlesung, Do 8.7.2004
Determinantenberechnung und elementare Umformungen
Determinante und Matrizenmultiplikation
Determinanten von Transponierten
(Jänich, Kap. 6)
26. Vorlesung, Di 13.7.2004
Determinanten und Inverse
Determinantem und Gleichungssysteme (Cramersche Regel)
Determinanten von Endomorphismen
Satz von Pappus (Eine Anwendung in der Geometrie )
(Jänich, Kap. 6)
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