Randwertprobleme für lineare und nichtlineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: verallgemeinerte Ableitungen und Sobolew-Räume, Variationsprobleme und Operatorgleichungen, monotone Operatoren, Galerkin-Verfahren, Maximumprinzip

Anfangsrandwertprobleme für lineare und nichtlineare parabolische Differentialgleichungen: Bochner-Integral und Gelfand-Dreier, Evolutionsgleichungen, Zeitdiskretisierung, Regularität und Glättungseigenschaft

Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de oder kreusler@math.tu-berlin.de
 

Die Übung findet im Raum MA 376 statt!

Hörerkreis: Studierende der Mathematik (auch Lehramt), Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik

Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis, Optimalsteuerung oder Funktionalanalysis denken. Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite).

Geplante Fortsetzung im Wintersemester 2006/07: Differentialgleichungen III (4 SWS), insbesondere zur Theorie der Halbgruppen und deren Anwendung auf lineare und nichtlineare Evolutionsgleichungen

Voraussetzungen: Differentialgleichungen I oder äquivalente Kenntnisse, insbesondere auch Banachscher und Schauderscher Fixpunktsatz, Lebesguesches Integral, klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen, elementare Lösungsmethoden für partielle Differentialgleichungen

Kriterien für einen unbenoteten Übungsschein: werden in der ersten Übung bekannt gegeben

Prüfungsmodalitäten: werden rechtzeitig in der Vorlesung bekannt gegeben.

Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an

• E. Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. Vieweg, 2004.

• M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. Springer, 2nd ed. 2004.
• M. Dobrowolski. Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen. Springer, 2006
• M. Ruzicka. Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer, 2004.

In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.

Das Buch Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations von R.E. Showalter kann kostenlos bei der AMS heruntergeladen werden.

Weitere Literaturempfehlungen

    .... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier (als PDF-Datei)
    .... zur Biomathematik finden Sie hier (als PDF-Datei)

Inhalt:

I Schwache Lösungstheorie für stationäre Differentialgleichungsprobleme
   I.1  Verallgemeinerte Ableitung und Regularisierung im eindimensionalen Fall
   I.2  Sobolew-Räume H^1(a,b), H_0^1(a,b) und H^{-1}(a,b)
   I.3  Variationelle Formulierung und Operatorgleichung
   I.4  Lineare Variationsprobleme mit stark positiver Bilinearform
   I.5  Nichtlineare Variationsprobleme mit stark monotonem Operator
         Exkurs Lineare Funktionalanalysis
   I.6  Nichtlineare Variationsprobleme mit monotonem Operator und verstärkt stetiger Störung
   I.7  Galerkin-Verfahren: Diskrete Ersatzaufgabe und Fehlerabschätzungen
   I.8  Beweis der Existenzaussage für monotone Operatoren
   I.9  Finite-Elemente-Methode
   I.10 Anwendungen auf stationäre Differentialgleichungsprobleme in mehreren Dimensionen
II Schwache Lösungstheorie für instationäre Differentialgleichungsprobleme (Evolutionsgleichungen)
   II.1 Räume Bochner-integrierbarer Funktionen
   II.2 Verallgemeinerte Zeitableitung und der Raum W(0,T)
   II.3 Variationelle Formulierung und Operator-Differentialgleichung
   II.4 Lineare Evolutionsgleichungen und deren Zeitdiskretisierung
   II.5 Regularität, Kompatibilität der Daten und Glättungseigenschaft

  Hier gibt es eine Übersicht über die möglichen Eigenschaften eines Operators A:V->V^*
  und über die in der Vorlesung behandelten Räume (von F. Rindler).
Einen Übersichtsartikel zum Thema Differentialgleichungen in der medizinischen Diagnostik (vgl. 9. Übungsblatt) gibt es hier.

Übungsblätter (pdf):

Da (fast) drei Wochen lang keine Übung stattfinden wird, soll das vierte und das fünfte Aufgabenblatt zusammen in der Übung am 12.6. abgegeben werden.
 

Blatt 1	Blatt 2	Blatt 3	Blatt 4	Blatt 5
Blatt 6	Blatt 7	Blatt 8	Blatt 9	Blatt 10

Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.

Informationen zu MATLAB:

• Info-Blatt und ein Beispiel zur Lösung eines Anfangswertproblems (pdf-File)
• MATLAB am ZRZ der TU Berlin
• MATLAB - Eine freundliche Einführung (pdf-File)
• Kurzanleitung (pdf-File)
• A Practical Introduction (html)
• MATLAB Tutorial (html)
• MATLAB Primer (pdf-File)

Informationen zu SCILAB:

• SCILAB-Homepage
• SCILAB-Einführung (pdf-File)
• Besondere Hinweise zur Einrichtung von SCILAB