Differentialgleichungen II
Sommersemester 2007
Randwertprobleme für lineare und nichtlineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: verallgemeinerte Ableitungen und Sobolew-Räume, Variationsprobleme und Operatorgleichungen, monotone Operatoren, Galerkin-Verfahren
Anfangsrandwertprobleme für lineare parabolische Differentialgleichungen: Bochner-Integral und Gelfand-Dreier, Evolutionsgleichungen, Zeitdiskretisierung, Regularität und Glättungseigenschaft
Besuchen
Sie auch die Lehrveranstaltung
Numerik partieller Differentialgleichungen,
die eine Einführung in die Grundlagen der Finite-Elemente-Methode und die Theorie der Diskretisierungsverfahren bietet.
Vorlesung |
Mi |
16 - 18 Uhr |
MA 141 |
|
|
Fr |
12 - 14 Uhr |
MA 041 |
|
Übung |
Di |
10 - 12 Uhr |
MA 841 |
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Sprechzeiten |
Di |
14.30 - 15.30 Uhr |
MA 367 |
Dr. Etienne Emmrich |
|
Mo |
16 - 17.30 Uhr |
MA 363 |
Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler |
|
|
MA 370 |
Fragen
und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de
oder
kreusler@math.tu-berlin.de
AKTUELLES:
Der Übungstermin wurde auf
Dienstag, 10-12 Uhr im MA 841 verschoben!
Für Fans: Der Link zur Fanpage!
Hörerkreis: Studierende der Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik
Die
Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für
Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in
Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis,
Optimalsteuerung oder Funktionalanalysis denken.
Informationen
über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik,
Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen
finden Sie hier
(Broschüre
als PDF-Datei) und hier
(Web-Seite).
Geplante
Fortsetzung im Wintersemester 2007/08: Differentialgleichungen
III (4 SWS), insbesondere zur Theorie der Halbgruppen und deren
Anwendung auf lineare und nichtlineare Evolutionsgleichungen, gelesen
von Frau Prof. Dr. P. Wittbold.
Voraussetzungen:
Differentialgleichungen I oder äquivalente Kenntnisse,
insbesondere auch Banachscher und Schauderscher Fixpunktsatz,
Lebesguesches Integral, klassische Lösbarkeit von
Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen,
elementare Lösungsmethoden für partielle
Differentialgleichungen.
Kriterien
für einen unbenoteten Übungsschein: Es wird
wöchentliche Übungsblätter geben. Diese müssen in
festen Zweier- oder Dreiergruppen bearbeitet werden. Die
Übungsblätter werden jeweils dienstags auf dieser Seite
veröffentlicht und müssen im allgemeinen in der Übung
der Folgewoche abgegeben werden. Zum Erhalt des Übungsscheins
ist das Erreichen von jeweils der Hälfte der Punkte aus der
ersten Semesterhälfte (voraussichtlich Blätter 1-5) und der
zweiten Semesterhälfte (voraussichtlich Blätter 6-10)
erforderlich.
Prüfungsmodalitäten:
werden rechtzeitig in der Vorlesung bekannt gegeben.
Literatur:
Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an
E. Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. Vieweg, 2004.
Zu empfehlen sind insbesondere auch
M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. Springer, 2nd ed. 2004.
M. Ruzicka. Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer, 2004.
Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.
In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.
Das
Buch Monotone
Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential
Equations von
R.E. Showalter kann kostenlos heruntergeladen werden, ebenso
das
Buch Theorie
und Numerik elliptischer Differentialgleichungen von W.
Hackbusch.
Weitere Literaturempfehlungen
....
zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
.... zur Analysis und
Funktionalanalysis finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
....
zur Numerik partieller Differentialgleichungen, insbesondere zur
Finite-Elemente-Methode finden Sie hier
(als PDF-Datei)
....
zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
....
zur Biomathematik finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
Inhalt:
I
Schwache Lösungstheorie für stationäre
Differentialgleichungsprobleme
I.1
Verallgemeinerte Ableitung und Regularisierung im eindimensionalen
Fall
I.2 Sobolew-Räume H^1(a,b),
H_0^1(a,b) und H^{-1}(a,b)
I.3
Variationelle Formulierung und Operatorgleichung
I.4 Lineare
Variationsprobleme mit stark positiver Bilinearform
I.5 Nichtlineare Variationsprobleme mit stark monotonem
Operator
Exkurs Lineare Funktionalanalysis
I.6
Nichtlineare Variationsprobleme mit monotonem Operator und
verstärkt
stetiger Störung
I.7
Galerkin-Verfahren: Diskrete Ersatzaufgabe und
Fehlerabschätzungen
I.8 Beweis der
Existenzaussage für monotone Operatoren
I.9 Finite-Elemente-Methode
I.10
Anwendungen auf stationäre Differentialgleichungsprobleme in
mehreren Dimensionen
II Schwache Lösungstheorie für
instationäre Differentialgleichungsprobleme
(Evolutionsgleichungen)
II.1 Räume
Bochner-integrierbarer Funktionen
II.2 Verallgemeinerte Zeitableitung und der Raum W(0,T)
II.3 Variationelle Formulierung und
Operator-Differentialgleichung
II.4 Lineare
Evolutionsgleichungen und deren Zeitdiskretisierung
II.5 Regularität, Kompatibilität der Daten und
Glättungseigenschaft
Es gibt eine Übersicht
über die für diese Vorlesung relevanten Räume (von F.
Rindler).
Übungsblätter
(pdf): (Es wird ein Zusatzblatt (Blatt 11) geben.)
Blatt 5 | ||||
Blatt 6 | Blatt 7 | |||
Blatt 11 |
Software:
Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.
Informationen zu MATLAB:
Ähnlich wie MATLAB und frei zugänglich ist SCILAB des französischen INRIA - Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique.
Informationen zu SCILAB:
Für Fortgeschrittene empfehlen wir FEMLAB - ein Programmpaket, welches ursprünglich auf MATLAB aufbaut und für professionelle wissenschaftlich-technische Berechnungen geeignet ist. Zahlreiche Beispiele auf CD aus Bereichen wie Chemical Engineering und Fluid Dynamics sowie weitere Informationen sind unter www.comsol.de bzw. www.femlab.com zu erhalten.
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Adresse der TU Berlin (Impressum) ..
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verantwortlich. .. Dr. Etienne Emmrich / Christian Kreusler 17/04/07]