TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2002

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Schwache Lösungen

Partielle Differentialgleichungen - 10. Übung

1. (Vorrechenaufgabe) Leiten Sie die schwache Formulierung zu folgendem Randwertproblem her:

(Δu)(x) = f(x) in Ω,
\frac{∂u}{∂n}(x) = g_{2}(x) auf Γ_{2},
\frac{∂u}{∂n}(x) + α(x)u(x) = g_{3}(x) auf Γ_{3} (∂Ω = Γ_{2} ∪ Γ_{3}).

2. Gegeben sei ein glattes Gebiet Ω, welches durch eine glatte Kurve Γ_{i} in eine linke und rechte Hälfte geteilt wird. Die Lösung u soll die schwache Formulierung der folgenden Differntialgleichung erfüllen:

div [a(x)grad u] = f in Ω,
u(x) = 0 auf ∂Ω.

Dabei soll a(x) im jeweiligen Teilgebiet positiv und konstant sein:

a(x) = \{ \begin{matrix}a_{1} in Ω_{1} \\ a_{2} in Ω_{2} \end{matrix}

Welchen Beziehungen muß die schwache Lösung u dieser Aufgabe auf der Kurve Γ_{i} genügen? Setzen Sie dazu voraus, daß u ∈ H^{2}(Ω_{j}) (j = 1, 2) gilt.

3. Leiten Sie die schwache Formulierung zu folgenden Randwertproblemen her und zeigen Sie, daß die Voraussetzungen des Satzes von Lax/Milgram erfüllt sind: a)

− ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}∂x_{j}} (x) = f(x) in Ω,
u(x) = 0 auf ∂Ω.

b)

− ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}∂x_{j}} (x) + bu(x) = f(x) in Ω,
∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}ν_{j}(x)\frac{∂u}{∂x_{i}} (x) = 0 auf ∂Ω.

Dabei seien a_{ij} = a_{ji} und b positive Konstanten, f ∈ L^{2}(Ω) und ν_{j}(x) die j-te Komponente des äußeren normierten Normalenvektors in x, und die Differentialgleichung sei elliptisch.