Technische Universität Berlin SS 2003

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

2. Übung ”Analysis II ”

5.) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

(a) Konvergieren die Integrale ∫_{a+}^{b} f dx und ∫_{a+}^{b} g dx, so konvergiert das Integral ∫_{a+}^{b} fg dx.

(b) Existiert das Integral ∫_{a}^{+∞}f(x) dx, so gilt: lim_{x→∞} f(x) = 0 .

(c) Es sei f : [ a, b] → ℝ integrierbar und F (x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt. Dann ist F eine

Stammfunktion zu f.

6 Punkte

6.) Überprüfen Sie, welche der folgenden Integrale konvergieren bzw. absolut konvergieren.

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{x dx}{\sqrt{1 + x^{3}}} (b) ∫_{0}^{∞} x^{x}e^{−x^{2}}dx (c) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{sin x}} (d) ∫_{1}^{∞} sin x^{2} dx .

12 Punkte

7.) (a) Es sei x ∈ ℕ, y ∈ ℝ, x < y und g : [x, y] → ℝ stetig differenzierbar. Für eine Folge a_{n} ∈ ℝ, n ∈ ℕ setzen wir A(t) := ∑_{x≤n≤t} a_{n}.

Zeigen Sie die ”Regel der partiellen Summation“ :

∑_{x≤n≤y} a_{n} g(n) = A(y)g(y) − ∫_{x}^{y} A(t) g′(t) dt

(Tipp: Betrachten Sie: A(y)g(y) − ∑_{x≤n≤y} a_{n}g(n) und wenden Sie den Fun-

damentalsatz an.)

Bitte wenden!

(b) Leiten Sie aus (a) eine einfache Form der sog. ”Eulerschen Summenformel“ her: Es sei x < y und g : [x, y] → ℝ stetig differenzierbar. Dann gilt:

∑_{x<n≤y} g(n) = ∫_{x}^{y} g(t) dt + ∫_{x}^{y}(t − [t]) g′(t) dt + ([y] − y) g(y) − ([x] − x) g(x) .

(Tipp: Was ist a_{n}? Was ist A(t) ? Achten Sie auf die verschiedene Summation in (a) und (b).) Die Eulersche Summenformel eignet sich hervorragend, um asymptotische Aussagen über Summen der Form ∑_{x<n≤y} g(n) zu erhalten. Ein Beispiel findet sich in (c).

(c) Für y > 1 gilt: ∑_{n=1}^{[y]} \frac{1}{n} = ∑_{1≤n≤y} \frac{1}{n} = log y + γ + φ(y) , wobei φ : [1, ∞ [ → ℝ

eine Funktion darstellt, die |φ(y)| ≤ \frac{1}{y} erfüllt. Dabei ist γ die Euler-Mascheroni-Konstante.

(Tipp: Arbeiten Sie folgende Punkte ab: Warum konvergiert ∫_{1}^{∞} \frac{t−[t]}{t^{2}} dt?

Benutzen Sie (b) für die Gleichung: ∑_{1≤n≤y} \frac{1}{n} = log y + 1 − ∫_{1}^{∞} \frac{t−[t]}{t^{2}} dt +

∫_{y}^{∞} \frac{t−[t]}{t^{2}} dt − \frac{y−[y]}{y} . Setzen Sie φ(y) := ∫_{y}^{∞} \frac{t−[t]}{t^{2}} dt − \frac{y−[y]}{y} und schätzen Sie wie

gefordert ab. Beantworten Sie ganz zum Schluss die Aussage über γ.)

4+4+4 Punkte

∑ 30 Punkte

\underline{Abgabe:} 5.5.2003, in der Übung.

Die Zusatzübung für LAKs findet \underline{freitags 10 -12 im MA 042} statt.

Da am Ostermontag die Tutorien ausfallen, findet ausnahmsweise am Freitag, den 25.4.03 von 8-10 im MA 751 ein zusätzliches Tutorium statt.

Die Punktzahlen auf dem 1. Übungsblatt werden alle verdoppelt.