Technische Universität Berlin SoSe03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

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3.Übung ”Analysis II “

8.) Betrachten Sie die Folge

f_{n} : [0, 1] → ℝ; x ↦ f_{n}(x) := nx(1 − x)^{n}.

(a) Berechnen Sie den Grenzwert, gegen den die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} punktweise konvergiert.

(b) Zeigen Sie, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig sein kann.

(c) Es gilt dennoch lim_{x→0} lim_{n→∞} f_{n}(x) = lim_{n→∞} lim_{x→0} f_{n}(x).

Gleichmäßige Konvergenz ist also keine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Grenzfunktion. (Tipp: zu (b): Wo liegen die Extrempunkte der f_{n}?)

8 Punkte

9.) Vorgegeben sei

f_{n} : ℝ^{+} → ℝ; x ↦ f_{n}(x) := \frac{x}{n^{2}} exp (−\frac{x}{n})

Zeigen Sie: Die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen 0, aber

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞}f_{n}(x)dx = 1.

Gleichmäßige Konvergenz reicht also nicht aus, um Grenzübergänge und uneigentliche Integration zu vertauschen.

(Tipp: Für die gleichmäßige Konvergenz ist die Kenntnis von ∥f_{n}∥_{∞} nützlich.)

6 Punkte

10.) Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen.

(a) ∑_{n=1}^{∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})x^{n}.

(b) ∑_{n=1}^{∞}(cosh n)x^{n}.

Bitte wenden!

(c) ∑_{n=1}^{∞} n^{\frac{ln n}{n}} x^{n}.

(d) ∑_{n=1}^{∞} nΓ(n)x^{n}, Γ bezeichnet die Gammafunktion.

8 Punkte

11.) (a) Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion:

f(x) := ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}dt

Rechtfertigen Sie jede Umformung, in welcher Sie Grenzübergänge vertauschen.

(b) Bestimmen Sie die Summenfunktion von

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} n^{2}x^{n}.

In welchen offenen Intervallen gilt die gewonnene Summendarstellung?

8 Punkte

∑ 30 Punkte

\underline{Abgabe:} 12. 5. 03 , in der Übung.