Technische Universität Berlin SoSe 03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

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6.Übung ”Analysis II “

(letztes Übungsblatt der ersten Semesterhälfte)

Im folgenden sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X.

20.) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Beweis oder Gegenbeispiel...

(a) Ein isolierter Punkt von M ist immer ein Randpunkt.

(b) Jeder innere Punkt von \overline{M} ist ein innerer Punkt von M.

(c) ∀x_{1}, x_{2} ∈ X, r_{1}, r_{2} ≥ 0 : K_{r_{1}}(x_{1}) ⊂ K_{r_{2}}(x_{2}) ⇒ r_{1} ≤ r_{2}

(d) x ∉ M ist genau dann ein Berührpunkt von M , wenn x sowohl Randpunkt als auch Häufungspunkt ist.

4x2 = 8 Punkte

21.) Zeigen Sie:

(a)  \overline{M} = ⋂_{M⊂A,A abgeschlossen} A
(b)  M^{∘} = ⋃_{O⊂M,O offen} O

\overline{M} ist also die kleinste abgeschlossenen Menge, die M enthält und M^{∘} ist die größte offene Menge, die in M enthalten ist.

6 Punkte

22.) Seien (x_{n})_{n∈ℕ} und (y_{n})_{n∈ℕ} Cauchy-Folgen in (X, d).

Zeigen Sie:

(d(x_{n}, y_{n}))_{n∈ℕ} ist konvergent.

4 Punkte

Bitte wenden!

23.) Sei I ⊂ ℝ ein abgeschlossenes Intervall. Für f, g ∈ C^{∞}(I) definiere p_{n}(f, g) := ∥f^{(n)} −g^{(n)}∥_{∞}, für n ∈ ℕ^{∗} und p_{0}(f, g) := ∥f − g∥_{∞}. Zeigen Sie:

(a) ∀n ∈ ℕ^{∗} : p_{n} ist keine Metrik auf C^{∞}(I).

(b) ∀n ∈ ℕ : p_{n} ist Pseudometrik auf C^{∞}(I).

(c)  d(f, g) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(f, g)}{1 + p_{n}(f, g)}

definiert eine Metrik auf C^{∞}(I).

(d) C^{∞}(I) ist bezüglich der in c) definierten Metrik vollständig. 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Punkte

∑ 32 Punkte

\underline{Abgabe:} 02.06.03, in der Übung.