Technische Universität Berlin SoSe 03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

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8. Übung ”Analysis II “

28.) Kann man aus den folgenden offenen Überdeckungen O_{i} der Mengen S_{i} endliche Teilüberdeckungen auswählen? Sind die Mengen S_{i} kompakt? Beweisen Sie Ihre Aussagen.

(a) S_{1} = \{\frac{1}{2^{n}} | n ∈ ℕ\}, O_{1} = \{]\frac{1−ε}{2^{n}}, \frac{1+ε}{2^{n}}[\}, für 0 < ε < \frac{1}{2}.

(b) S_{2} = \{\frac{1}{2^{n}} | n ∈ ℕ\} ∪ \{0\}, O_{2} = \{]\frac{1−ε}{2^{n}}, \frac{1+ε}{2^{n}}[\} ∪ \{] − ε, ε[\}, für 0 < ε < \frac{1}{2}.

(c) S_{3} =]0, 1[, O_{3} = {] − ε, 1 + ε[| 0 < ε < 1}.

3 x 2 Punkte

29.) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Beweis oder Gegenbeispiel... Sei (X, d) ein metrischer Raum.

(a) Jede endliche Teilmenge M ⊂ X ist kompakt.

(b) Jede offene Überdeckung von ℚ in ℝ ist eine Überdeckung von ℝ.

(c) Aus jeder Überdeckung einer kompakten Menge mit abgeschlossenen Mengen kann man eine endliche Teilüberdeckung auswählen.

2 x 2 + 1 x 4 Punkte

30.) Seien X, Y nichtleere Mengen. Wir bilden wie in Aufgabe 26 den sogenannten diskreten topologischen Raum (X, ℘(X)) sowie den trivialen topologischen Raum (Y, {∅, Y }). Bestimmen Sie alle kompakten Teilmengen von X und Y.

4 + 2 Punkte

Bitte wenden!

31.) Sei (X, d) ein metrischer Raum, K ⊂ X kompakt. Zeigen Sie:

(a) Jede Teilmenge M von K ohne Häufungspunkt in K ist endlich.

(b) Jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in K hat eine konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit Grenzwert in K.

(c) Ist X kompakt, so ist X vollständig.

4 + 3 + 3 Punkte

( Aufgabenteil (b) soll mit (a) hergeleitet werden. Wer den Satz von Bolzano-Weierstrass benutzt bekommt keine Punkte !)

Zusatzaufgabe

32.) Sei ε > 0.

Finde offene Intervalle ]a_{n}, b_{n}[, n ∈ ℕ, so dass

ℚ ⊂ ⋃_{n∈ℕ}]a_{n}, b_{n}[  und  ∑_{n=0}^{∞} |a_{n} − b_{n}| < ε.

4 Punkte

∑ 30 + 4 Punkte

\underline{Abgabe:} 16.6.03, in der Übung.