Technische Universität Berlin SoSe 03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

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9. Übung ”Analysis II “

33.) Sei P ein Punkt innerhalb und Q ein Punkt außerhalb des Einheitskreises. Zeigen sie, dass jede Spur eines parametrisierten Weges von P nach Q den Einheitskreis schneiden muss.

2 Punkte

34.) Gegeben seien die parametrisierten Kurven • γ_{1} : ℝ → ℝ^{2}, γ_{1}(t) = (e^{t} cos t, e^{t} sin t) (logarithmische Spirale)

• γ_{2}^{r} : [0, 2π] → ℝ^{2}, γ_{2}^{r}(t) = (r cos t, r sin t), r ≥ 0. Berechnen Sie:

(a) den Einheits Tangentenvektor t_{1} und t_{2}^{r} von γ_{1} und γ_{2}^{r} an jeder sinnvollen Stelle t ∈ ℝ,

(b) die Bogenlänge L(γ_{1}|_{[0,a]}) für a ≥ 0 und zusätzlich lim_{x→−∞} L(γ_{1}|_{[x,0]}).

(c) den/die Schnittpunkt/e P^{r} und die Schnittwinkel α^{r} von γ_{1} mit γ_{2}^{r}.

(d) Fertigen Sie eine Skizze an die Ihre Rechenergebnisse illustriert. 4 + 3 + 3 + 2 Punkte

35.) Vorgegeben sei der Weg

γ : [0, e^{π}] → ℝ^{2}, γ(t) = \{ \begin{matrix}(t, t sin (ln t)), & t ≠ 0 \\ (0, 0), & t = 0 \end{matrix} .

Zeigen Sie:

(a) Der Weg γ ist rechtsseitig stetig in 0.

(b) Berechnen Sie: lim_{x→0} L(γ|_{[x,e^{π}]}).

(c) Der Weg γ ist rektifizierbar.

2+ 4 + 2 Punkte

Bitte wenden!

36.) Berechnen Sie für

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} und \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}. Warum steht das Ergebnis nicht im Widerspruch zum Satz von H. A. Schwarz? 4 Punkte

37.) Gegeben sei

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{matrix} .

(a) Zeigen Sie, dass f in (0, 0) unstetig ist.

(b) Berechnen sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung (insbesondere in (0, 0)). Warum steht das Ergebnis nicht im Widerspruch dazu, dass eine differenzierbare Funktion stetig ist?

2 + 4 Punkte

∑ 32 Punkte

\underline{Abgabe:} 23.6.03, in der Übung.