Technische Universität Berlin SoSe 03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof. Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SoSe03/AnalysisII

”Analysis II“

Was man zur Klausur auswendig können sollte - ”Arbeitsblatt“

Diese Übersicht soll Ihnen helfen unwichtiges und wichtiges auseinander zu halten. Sie erhebt allerdings keinen Anspruch auf Vollständigkeit und darf nicht während der Klausur benuntzt werden.

1. Grundrechenarten +, −, Bruchrechnung, Potenzgesetze, … auch für komplexe Zahlen

2. Ungleichungen … auch mit Brüchen und Beträgen.

3. Binomische Formeln

(a + b)^{2} =
(a − b)^{2} =
(a + b)(a − b) =
(a + b)^{n} =

4. Wichtige Funktionen

(a) Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ^{+} bzw. ℂ → ℂ \ {0} Definition:

exp(x) := ∑_{k=0}^{∞}

Funktionalgleichung:

e^{(x+y)} =

Ableitung:

(e^{x})′ =

Wichtige Werte:

exp(0) =

exp(1) =

Grenzwerte:

lim_{x→∞} exp(x) =

lim_{x→−∞} exp(x) =

(b) Natürlicher Logarithmus ln : ℝ^{+} → ℝ Definition: Umkehrfunktion von exp Funktionalgleichung:

ln(xy) =

Ableitung:

(ln(x))′ =

Wichtige Werte:

ln(1) =

ln(e) =

Grenzwerte:

lim_{x→∞} ln(x) =

lim_{x→0} ln(x) =

(c) Trigonometrische Funktionen Definition:

e^{ix} =:

Trigonometrischer Pythagoras:

sin^{2} + cos^{2} =

Additionstheoreme:

sin(α + β) =
cos(α + β) =

Ableitungen:

sin′ =
cos′ =

Tangens und Cotangens:

tan =

cot =

Wertetabelle:

x  0  \frac{π}{6}  \frac{π}{4}  \frac{π}{2}  π

sin x

cos x

Die Umkehrfunktionen heißen ”arcus“Funktionen arcsin, arccos und arctan (d) Hyperbelfunktionen

Definition:

sinh x =
cosh x =
tanh x =

Die Umkehrfunktionen heißen ”Area“Funktionen Arsinh, Arcosh und Artanh.

5. Ableitungsregeln … auch mehrdimensional

6. Integrationsregeln sowie Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale

7. Folgen und Reihen Grenzwertsätze, Konvergenzkriterien, Regel von de L’Hospital, Funktionenfolgen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Vertauschungssätze) Wichtige Reihen:

(a) geometrische Reihe:

∑_{k=0}^{∞} q^{k} =

für |q| < 1

(b) binomische Reihe:

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞}

mit

\binom{α}{k} =

(c) harmonische Reihe:

∑_{k=}^{∞} \frac{1}{k}

konvergiert/divergiert

(d)  ∑_{k=}^{∞} \frac{1}{k^{α}}

divergiert für α ><= konvergiert für α ><=

(e) Exponentialreihe (s.o)

(f) Sinus- und Cosinusreihe

sin x = ∑_{k=1}^{∞}

cos x = ∑_{k=1}^{∞}

8. Definitionen von Grundbegriffen, … z.B Metrik, Norm, Stetigkeit u.s.w.