Technische Universität Berlin SoSe 03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof. Dr. G. Frank / J. Meyer / D. Timmreck Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SoSe03/AnalysisII

”Analysis II “

Was man zur Klausur auswendig können sollte

Diese Übersicht soll Ihnen helfen unwichtiges und wichtiges auseinander zu halten. Sie erhebt allerdings keinen Anspruch auf Vollständigkeit und darf nicht während der Klausur benuntzt werden.

1. Grundrechenarten +, −, Bruchrechnung, Potenzgesetze, … auch für komplexe Zahlen

2. Ungleichungen … auch mit Brüchen und Beträgen.

3. Binomische Formeln

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
(a − b)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}
(a + b)(a − b) = a^{2} − b^{2}
(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{k}b^{n−k}

4. Wichtige Funktionen Funktionsverläufe und Wertetabellen für die trigonometrischen Funktionen ergänzen!

(a) Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ^{+} bzw. ℂ → ℂ \ {0} Definition:

exp(x) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

Funktionalgleichung: e^{(x+y)} = e^{x}e^{y} Ableitung: (e^{x})′ = e^{x} Wichtige Werte: exp(0) = 1, exp(1) = e Grenzwerte: lim_{x→∞} exp(x) = ∞, lim_{x→−∞} exp(x) = 0

(b) Natürlicher Logarithmus ln : ℝ^{+} → ℝ Definition: Umkehrfunktion von exp Funktionalgleichung: ln(xy) = ln(x) + ln(y) Ableitung: (ln(x))′ = \frac{1}{x} Wichtige Werte: ln(1) = 0, ln(e) = 1 Grenzwerte: lim_{x→∞} ln(x) = ∞, lim_{x→0} ln(x) = −∞ (c) Trigonometrische Funktionen

Definition: e^{ix} =: cos x + i sin x Trigonometrischer Pythagoras: sin^{2} + cos^{2} = 1 Additionstheoreme: sin(α + β) = cos(α) sin(β) + cos(β) sin(α), cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) Ableitungen: sin′ = cos, cos′ = − sin Tangens und Cotangens: tan = \frac{sin}{cos}, cot = \frac{cos}{sin} Wertetabelle:

\begin{matrix}x & 0 & \frac{π}{6} & \frac{π}{4} & \frac{π}{2} & π \\ sin x & 0 & \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & 1 \\ cos x & 1 & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} & \sqrt[\frac{1}{2}]{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}

Die Umkehrfunktionen heißen ”arcus“Funktionen arcsin, arccos und arctan (d) Hyperbelfunktionen

Definition: sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} , cosh x = \frac{e^{x}+e^{−x}}{2} , tanh = \frac{sinh}{cosh} Die Umkehrfunktionen heißen ”Area“Funktionen Arsinh, Arcosh und Artanh.

5. Ableitungsregeln … auch mehrdimensional

6. Integrationsregeln sowie Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale

7. Folgen und Reihen Grenzwertsätze, Konvergenzkriterien, Regel von de L’Hospital. Funktionenfolgen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Vertauschungssätze) Wichtige Reihen:

(a) geometrische Reihe:

∑_{k=0}^{∞} q^{k} = \frac{1}{1 − q} ,

für |q| < 1

(b) binomische Reihe:

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k}

mit \binom{α}{k} = ∏_{j=1}^{k} \frac{α−j+1}{j}

(c) harmonische Reihe:

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k}

divergiert

(d)  ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{α}}

divergiert für α ≤ 1 und konvergiert für α > 1

(e) Exponentialreihe s.o.

(f) Sinus- und Cosinusreihe

8. Definitionen von Grundbegriffen, … z.B Metrik, Norm, Stetigkeit u.s.w.