TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Elementare Lösungsmethoden

Partielle Differentialgleichungen - 5. Übung

Wiederholung: Lineare gewöhnl. Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Sturm– Liouvillesche Eigenwertprobleme, Fourierreihen

1. (Vorrechenaufgabe) Beweisen Sie Lemma 2 aus dem Abschnitt 3.1.3 (Spiegelungsmethode).

2. (Vorrechenaufgabe) Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Spiegelungsmethode Eine Saite der Länge l bewege sich entsprechend der Gleichung

u_{tt} − u_{xx} = 0 (0 < x < l, t > 0),

wobei u die Auslenkung der Saite aus der Ruhelage bedeutet. Dabei seien folgende Anfangs– und Randbedingungen gestellt:

a) Die Saite sei an beiden Enden eingespannt und habe zum Zeitpunkt t = 0 die Auslenkung u(0, x) = sin \frac{xπ}{l} und die Anfangsgeschwindigkeit 0.

b) Das rechte Ende sei eingespannt, das linke soll frei schwingen. Anfangsauslenkung und –geschwindigkeit seien durch u(0, x) = u_{t}(0, x) = cos \frac{xπ}{2l} gegeben.

3. (Vorrechenaufgabe) Geben Sie Eigenwerte und dazugehörige Eigenfunktionen zu den folgenden Sturm–Liouville–Problemen an:

a) y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y′(1) = 0

b) y′′ + λy = 0, y′(0) = 0, y′(1) = 0.

4. (Vorrechenaufgabe) Lösen Sie folgendes Anfangsrandwertproblem zur Wärmeleitgleichung mit Hilfe der Fouriermethode: u_{t}(t, x) − u_{xx}(t, x) = 0, 0 < x < π, t > 0, u(0, x) = sin x, u(t, 0) = u(t, π) = 0.

5. Lösen Sie folgende Anfangs– und Randwertaufgabe zur Wellengleichung mit Hilfe der Fouriermethode (Achtung: Aufgabe wird auf dem nächsten Übungsblatt fortgesetzt.) u_{tt}(x, t) − a^{2}u_{xx}(x, t) = 0, x ∈ (0, π), t > 0 u(x, 0) = x^{2} − π^{2}, u_{t}(x, 0) = 1 u_{x}(0, t) = 0, u(π, t) = 0