TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 2003

Institut für Mathematik Dozent und Übungsleiter: Arnd Rösch

Elliptische DGL – Anwendungen

Partielle Differentialgleichungen - 6. Übung

1. Lösen Sie folgende Anfangs– und Randwertaufgaben zur Wellengleichung mit Hilfe der Fouriermethode! (Fortsetzung vom letzten Blatt)

a) u_{tt}(x, t) − a^{2}u_{xx}(x, t) = x + t, x ∈ (0, π), t > 0 u(x, 0) = x^{2} − π^{2}, u_{t}(x, 0) = 1 u_{x}(0, t) = 0, u(π, t) = 0

b) u_{tt}(x, t) − a^{2}u_{xx}(x, t) = x + t + 2, x ∈ (0, π), t > 0 u(x, 0) = x^{2} − π^{2}, u_{t}(x, 0) = 2 + x − π u_{x}(0, t) = t, u(π, t) = t^{2} + t

2. Bestimmen Sie die Lösung der Laplace–Gleichung im Innengebiet D_{i} : x^{2} + y^{2} < 1 und im Außengebiet D_{a} : x^{2} + y^{2} > 1, die die Randbedingung u(r, φ) = 1 + 8 sin 2φ − 3 cos φ für (x, y) ∈ ∂D erfüllt.

3. (Vorrechenaufgabe) Bestimmen Sie die Lösung der Laplace–Gleichung im Gebiet D : x^{2} + y^{2} < 1 bei der Randbedingung 2. Art \frac{∂u}{∂r}(r, φ) = cos^{2} φ − sin^{2} φ für (x, y) ∈ ∂D.

4. (Vorrechenaufgabe) Bestimmen Sie die Lösung der DGl Δu = 0 für (x, y) ∈ D : x^{2} + y^{2} + 2x < 0 , welche die RB u(x, y) = 4x^{3} + 6x − 1 , (x, y) ∈ δD erfüllt.

5. (Vorrechenaufgabe) Bestimmen Sie die Lösung der Poissonschen Differentialgleichung Δu = −\frac{ϱ}{ε} für die Raumladungsdichte ϱ = ϱ_{0}r^{n}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, (ε-Dielektrizitätskonstante).

6. (Vorrechenaufgabe) Bestimmen Sie das Potential u in der Umgebung von zwei kegelförmigen Elektroden, deren Spitzen gegeneinander isoliert sind.

Kugelkoordinaten: u(r, ϑ, φ) = u(ϑ)

RB: u(ϑ_{1}) = u_{1} = konst

RB: u(ϑ_{2}) = u_{2} = konst

[figure: ϑ_{2}; ϑ_{1}]