Technische Universität Berlin WS 02/03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS02/AnalysisI

4. Übung ”Analysis I ”

1.) Beweisen Sie folgende Aussagen:

(a) Zu jedem x ∈ ℝ existiert genau eine ganze Zahl p mit p ≤ x < p + 1. (Man nennt p den Integer oder das Größte Ganze von x und schreibt hierfür [x].)

(b) Zu jedem a ∈ ℝ existiert eine Folge (r_{n})_{n∈ℕ}, r_{n} ∈ ℚ mit lim_{n→∞} r_{n} = a.

2.) Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen (a_{n})_{n∈ℕ^{∗}}, falls diese existieren:

(a) a_{n} = \frac{n^{2}+n+2}{4n^{3}+1}

(b) a_{n} = ^{\frac{∑_{k=1}^{n} k^{3}}{n^{4}}}

(c) a_{n} = \frac{n^{3}}{\binom{2n}{n}}

(d) \frac{3^{n}−5n^{3}+1}{2·3^{n}+n^{5}+n^{2}} .

3.) Wir erklären die beiden Folgen (p_{n})_{n∈ℕ^{∗}}und (q_{n})_{n∈ℕ^{∗}}durch die Vorschriften

p_{n} = ∏_{k=1}^{n}(1 + \frac{1}{k(k + 2)}), q_{n} = ∏_{k=1}^{n}(1 − \frac{2}{k(k + 1)}).

(a) Zeigen Sie durch Bestimmung des Grenzwertes, daß die Folgen (p_{n})_{n∈ℕ^{∗}}und (q_{n})_{n∈ℕ^{∗}}konvergieren. Den Grenzwert bezeichne man dann mit p, bzw. q.

(b) Zu ϵ = 10^{−2} ist ein effektives n_{0} zu bestimmen, für welches |p − p_{n}| < ϵ bzw. |q − q_{n}| < ϵ für alle n ≥ n_{0} bleibt. ( Sie brauchen nicht das kleinste n_{0} zu bestimmen.)

4.) Es seien (a_{n})_{n∈ℕ}und (b_{n})_{n∈ℕ}Folgen reller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

(a) (a_{n})_{n∈ℕ}konvergent ⇔ (|a_{n}|)_{n∈ℕ} konvergent.

(b) (a_{n})_{n∈ℕ}und (b_{n})_{n∈ℕ}konvergent ⇔ (max(a_{n}, b_{n}))_{n∈ℕ} und (min(a_{n}, b_{n}))_{n∈ℕ} konvergent.

(c) (a_{n})_{n∈ℕ}konvergent ⇔ (max(a_{n}, 0))_{n∈ℕ} und (min(a_{n}, 0))_{n∈ℕ} konvergent.

(d) lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞}(b_{n} − a_{n}) = 0 ⇒ lim_{n→∞} b_{n} = a.

(e) (min(a_{n}, b_{n}))_{n∈ℕ} konvergent ⇔ (a_{n})_{n∈ℕ}oder (b_{n})_{n∈ℕ}konvergent.

\underline{Abgabe:} 18.11-22.11.2002 , in den Tutorien.