Technische Universität Berlin WS 02/03

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

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6. Übung ”Analysis I ”

1.) (Reihenberechnung)

Berechnen Sie den Wert folgender Reihen

(a) ∑_{k=3}^{∞} \frac{3}{4^{k}} .

(b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}.

2.) (Konvergenzuntersuchung)

Entscheiden Sie,welche der folgenden Reihen konvergieren:

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{2^{k}}{k!} .

(b) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k}(1 + \frac{1}{\sqrt{k}}).

(c) ∑_{k=1}^{∞}(\sqrt[k]{7} − 1)^{k}.

(d) ∑_{k=1}^{∞} \binom{2k}{k}^{−1}.

(e) ∑_{k=1}^{∞}(\frac{1}{2k})^{α}.

3.) (Notwendige Voraussetzungen und Kriterienvergleich)

(a) Die Reihe 1− \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4^{2}} ±… ist alternierend, das Leibnizkriterium ist aber nicht anwendbar. Warum? Entscheiden Sie, ob die Reihe konvergiert.

(b) Bei der Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{2+(−1)^{n}}{2^{n−1}} versagt das Quotientenkriterium, das Wurzelkrite-

rium entscheidet. Führen Sie diesen Sachverhalt aus.

4.) (Kriterium von Kummer)

(a) Beweisen Sie folgenden

Satz . Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine vorgegebene Folge, a_{n} > 0 und (b_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge positiver Zahlen. Existiert ein ρ > 0, so daß ab einer Stelle n_{0} ∈ ℕ für n ≥ n_{0} die Beziehung

b_{n} − \frac{a_{n+1}}{a_{n}} b_{n+1} ≥ ρ > 0 (1)

Gültigkeit hat, so konvergiert ∑_{k=0}^{∞} a_{k}.

(b) Wenden Sie obiges Kriterium an auf die Reihe

∑_{k=1}^{∞} \frac{1 · 3 · . . . · (2k − 1)}{2 · 4 · . . . · (2k)} · \frac{1}{2k + 1}. (2)

Liefert das Quotientenkriterium eine Entscheidung?

5.) (Es gibt keine am “langsamsten“ konvergente Reihe)

Vorgegeben sei die konvergente Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}, a_{k} ≥ 0 mit dem Reihenrest r_{n} =

∑_{k=n}^{∞} a_{k}. Zeigen Sie, daß die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a′_{k} ≡ ∑_{k=0}^{∞}(\sqrt{r_{n−1}} − \sqrt{r_{n}}) ebenfalls konvergiert

und daß gilt: \frac{a_{k}}{a′_{k}} → 0; n → ∞.

6.) (Der Ziegelstapel)

Legt man zwei homogene Ziegel aufeinander, so ergibt sich der größtmögliche Überhang, falls der Schwerpunkt des oberen Ziegels direkt über dem Ende des unteren Ziegels liegt, wie dies durch den Pfeil angedeutet wird. Legt man diesen Ziegel auf einen dritten, so ergibt sich ein maximaler Überhang, wenn ihr gemeinsamer Schwerpunkt über der Kante des dritten Ziegels liegt. Setzt man diesen Vorgang fort, so erhält man eine Konstruktion, wie im unteren Bild dargestellt. Wie groß kann der Überhang x maximal werden?

x

\underline{Abgabe:} 2.12.02-6.12.02 , in den Tutorien.