\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1994/12/01]

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\renewcommand{\thepage}{}

\Dozent{Ferus}
\Assi{Peters}
\Semester{WS 02}
\Lehrveranstaltung{Analysis III}
\www{\footnotesize \texttt{http://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS02/AnalysisIII}}

\begin{document}
\begin{uebung}
  {13} % Nummer 
  {3.2.02} % Abgabedatum
  {Der Satz von Stokes} % Thema


  \tutoriumsaufgaben

  \begin{taufgabe}
    \begin{itemize}
    \item[a)] Beschreiben Sie die folgende Fl"ache in $\R^4$ als 2--Kette
      (Parametrisierung):
      \[
        x_1^2+x_2^2=a^2,\qquad x_3^2+x_4^2=b^2.
      \]
    \item[b)] Integrieren Sie die 2--Form $\varphi=x_1x_2dx_2\land dx_3$ "uber diese
      Fl"ache.
    \item[c)] Berechnen Sie $d\varphi$.
    \item[d)] Beschreiben Sie die Fl"ache als den Rand eines 3--dimensionalen
      K"orpers im $\R^4$, und "uberpr"ufen Sie den Satz von Stokes in diesem
      Fall.

    \end{itemize}
  \end{taufgabe}

  \begin{taufgabe}
    Beweisen Sie den Satz von Green: Sei $G\subset\R^2$ offen, $p$, $q\colon\R^2\to\R$, $c\in
    C_2(G)$. Dann gilt
    \[
      \int\left(\pd qx -\pd py\right) dx\land dy=\int_{\partial C}pdx+qdy.
    \]
    Folgern Sie: Falls $C$ injektiv und $\det(Dc)\geq0$ ist, so gilt
    \[
      A(c)=\int_Cdx\land dy=\int_{\partial C}xdy=-\int_{\partial C}ydx=\frac12\int_{\partial C}-ydx+xdy.
    \]
  \end{taufgabe}

  \ \\

  \begin{taufgabe}
    \parbox{7.5cm}{Berechnen Sie den FL"acheninhalt der Asteroide, die durch
      die Kurven $x=\cos^3t$ und $y=\sin^3 t$, $0\leq t\leq2\pi$ begrenzt
      wird.
      
      (Hinweis: $\int\cos^4t\sin^2tdt = \frac1{192}(12 t + 3 \sin(2 t) - 3
      \sin(4t) - \sin(6t))$.)}  \hfill
    \raisebox{-.3cm}{\smash{\parbox{5cm}
        {\scalebox{.5}{\includegraphics{ueb13.eps}}}}}
  \end{taufgabe}

  \ \\[1.2cm]

  {\bf\Large Klausurtermin:} 

  Die Klausur findet am Dienstag, den
  11.02.03, von 16--18 Uhr im H 105 statt.

\newpage

  \hausaufgaben
  
    
  \begin{aufgabe}{5}
    Integrieren Sie
    \[
      \varphi=(x-y^2+z^3)(dy\land dz + dx\land dz+dx\land dy)
    \]
    "uber den Rand des W"urfels $0\leq x,y,z\leq a$ (Hinweis: Stokes).    
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}{5} 
    Sei 
    \[
      \varphi=\frac{xdy\land dz+y dz\land dx + z dx\land dy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac32}}
    \]
    \begin{itemize}
    \item[a)] Bestimmen Sie $d\varphi$.
    \item[b)] Integrieren Sie $\varphi$ "uber die Einheitssph"are
      $x^2+y^2+z^2=1$.
    \item[c)] Integrieren Sie $\varphi$ "uber den W"urfel der Seitenl"ange 4
      um den Koordinatenursprung.
    \item[d)] Besitzt $\varphi$ eine Stammfunktion?
    \end{itemize}
  \end{aufgabe} 

  \begin{aufgabe}{5} % Punkte
    \begin{itemize}
    \item[a)] Beweisen Sie den (klassischen) Satz von Stokes: Sei $G\subset\R^3$
      offen, $F\colon G\to\R^3$ ein differenzierbares Vektorfeld und $C\in C_2(G)$
      ein Fl"achenst"uck in $G$. Dann gilt
      \[
        \int_C<\rot F,dO> = \int_{\partial C}<F,ds>.
      \] 
    \item[b)] Sei $p\in I^2$ ein Punkt im Inneren von $I^2$, $C\in C^\infty(I^2,G)$ und
      $C_r$ die Einschr"ankung von $C$ auf das Quadrat der
      Kantenl"ange $r$ um $p$. Zeigen Sie
      \[
        \lim_{r\to0}\frac1{A(C_r)}\int_{\partial C_r} <F,ds> = <\rot F,N>(p).
      \]
      Interpretieren Sie dieses Ergebnis.
    \end{itemize} 
  \end{aufgabe}

  \begin{aufgabe}{5} 
    \begin{itemize}
    \item[a)] Beweisen Sie den Satz von Gau"s (Divergenzsatz): Sei $G\subset\R^n$
      offen, $F\colon G\to\R^n$ ein differenzierbares Vektorfeld und $C\in C_n(G)$ ein
      Volumenst"uck in $G$. Dann gilt:
      \[
        \int_{C}\div Fdx_1\land\ldots\land dx_n=\int_{\partial C}<F,dO>.
      \]
    \item[b)] Sei $p\in I^3$ ein Punkt im Inneren von $I^3$, $C\in C^\infty(I^3,G)$ und
      $C_r:=C$ die Einschr"ankung von $C$ auf den W"urfel der
      Kantenl"ange $r$ um $p$. Zeigen Sie
      \[
        \lim_{r\to0}\frac1{V(C_r)}\int_{\partial C_r} <F,dO> = \div F(p).
      \]
      Interpretieren Sie dieses Ergebnis.
    \end{itemize}
  \end{aufgabe} 
\end{uebung}
\end{document} 

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%%% TeX-master: t 
%%% End:

