Technische Universität Berlin WS 03/04

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS03/Analysis3

1.Übung ”Analysis III “

1.) Vorgegeben seien die Funktionen F, G : ℝ → ℝ mit

F (x) := (∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}dt)^{2}, G(x) := ∫_{0}^{1} \frac{e^{−x^{2}(1+t^{2})}}{1 + t^{2}} dt.

(a) Zeigen Sie: F und G sind differenzierbar und es gilt:

F′ + G′ = 0, F + G = \frac{π}{4} .

(b) Berechnen Sie mit (a) den Wert des Fehlerintegrals ∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}}dt

Begründen Sie jeden Schritt in welchem Sie eine Limesvertauschung durchführen.

3+1 Punkte

2.) Vorgegeben sei die Abbildung μ : C_{c}(ℝ^{n}) → ℝ, f ↦ μ(f) := ∑_{x∈ℤ^{n}} f(x).

Zeigen Sie, dass die Abbildungsvorschrift sinnvoll ist und untersuchen Sie μ auf Linearität, Monotonie und Translationsinvarianz.

4 Punkte

3.) Es sei A ⊂ ℝ^{n} eine kompakte Menge und f : A → ℝ eine stetige Funktion.

Weiter sei

g : ℝ^{n} → ℝ, g(x) := \{ \begin{matrix}f(x) & , x ∈ A \\ 0 & , sonst. \end{matrix} .

Zeigen Sie: g ∈ C_{c}(ℝ^{n}) ⇔ ∀x ∈ ∂A : f(x) = 0.

4 Punkte

4.) Es sei Q := [0, 1]^{2} und f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x, y) := \{ \begin{matrix}(x^{3} − x^{2})(y − 1) sin xy & , (x, y) ∈ Q \\ 0 & , sonst. \end{matrix} .

Zeigen Sie: f ∈ C_{c}(ℝ^{2}) und berechnen Sie ∫_{ℝ^{2}} f(x, y)dxdy. 4 Punkte

\underline{Abgabe:} 10. 11. 03, in der Übung.