Technische Universität Berlin WS 03/04

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS03/Analysis3

3.Übung ”Analysis III “

7.) Vorgegeben sei

f : K_{1}(0)\([0, 1[×\{0\}) → ℝ; (x, y) ↦ \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} − \frac{1}{2}

Zeigen Sie: f kann zu einer Funktion f̂ ∈ C_{c}(V) mit V := ℝ^{2}\([0, ∞[×{0}) fortgesetzt werden. Berechnen Sie ∫_{V} f̂(x, y)dxdy.

4 Punkte

8.) Beweisen Sie folgendes Injektivitätskriterium:

Es sei X ⊂ ℝ^{n} offen und konvex, d.h. für je zwei Punkte a, b ∈ X möge die Verbindungsstrecke {a+λ(b−a)|0 ≤ λ ≤ 1} in X liegen. Weiter sei t : X → ℝ^{n} stetig differenzierbar und für alle c ∈ X sei die Jacobi-Matrix Dt(c) positiv definit. Dann ist t in X injektiv.

(Tip. Für n = 1 ist nach dem Mittelwertsatz t(b)−t(a) = t′(a+λ_{0}(b−a))(b−a) mit geeignetem λ_{0} ∈]0, 1[ und falls t′ > 0 ist kann man sofort auf Injektivität schliessen. Wie lässt sich dieser Ansatz verallgemeinern?) 3 Punkte

9.) Vorgegeben sei die Transformation der ebenen elliptischen Koordinaten

(u, v) ↦ (x, y), x = sin u cosh v y = cos u sinh v

(a) Beschreiben Sie das Verhalten der Transformation bei festem u bzw. v mittels Skizzen und geben Sie einen möglichst grossen injektiven Bereich der (u, v)- Ebene an. (Aufgabe 8 kann helfen.)

(b) Drücken Sie den Laplace Operator in (u, v)- Koordinaten aus.

4 + 5 Punkte

\underline{Abgabe:} 24.11.03, in der Übung.