Technische Universität Berlin WS 03/04

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS03/Analysis3

4.Übung ”Analysis III “

10.) (a) Eine Familie 𝔉 reellwertiger Funktionen f : A → ℝ, A ⊂ ℝ^{n} heisst gleichmässig beschränkt, falls ein M > 0 existiert, so dass für alle f ∈ 𝔉 gilt: sup_{x∈A} |f(x)| < M. Geben Sie ein Beispiel einer gleichmässig beschränkten Familie stetiger Funktionen, für welche die obere Einhüllende nicht stetig ist.

(b) Analog zur oberen Einhüllenden erklärt man für eine Familie 𝔉 die untere Einhüllende durch f(x) := inf_{g∈𝔉} g(x). Ist die untere Einhüllende einer Familie stetiger Funktionen nach unten halbstetig?

2 + 2 Punkte

11.) (a) Es sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} von unten halbstetig, g : ℝ^{n} → ℝ stetig und monoton wachsend. Zeigen Sie: g ∘ f ist von unten halbstetig.

(b) Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass man auf die Halbstetigkeit nach unten von g ∘ f aus (a) nicht schliessen kann, falls g nur stetig oder auch nur monoton wachsend ist.

3 + 4 Punkte

12.) Prüfen Sie, welche der folgenden Funktionen Elemente von H^{↑}(ℝ^{n}) bzw. H^{↓}(ℝ^{n}) sind, und berechnen Sie ggf. das Integral.

(a) f : ℝ → ℝ; x ↦ χ_{ℕ}(x).

(b) f : ℝ^{2} → ℝ; (x, y) ↦ \{ \begin{matrix}(x + y)e^{x+y} & , (x, y) ∈]0, 2[×]1, 2[ \\ 0 & , sonst. \end{matrix}

2 + 3 Punkte

\underline{Abgabe:} 1.12.03, in der Übung.