Technische Universität Berlin WS 03/04

Fakultät II – Institut für Mathematik Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer Sekr. MA 8-2

www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS03/Analysis3

6.Übung ”Analysis III “

(Das letzte Blatt der ersten Übungsserie)

16.) Es sei A ⊂ ℝ^{n} integrierbar und f : A → ℝ eine integrierbare Funktion. Zeigen Sie:

| ∫_{A} f(x)dx| ≤ Vol_{n}(A) · sup_{x∈A} |f(x)|

3 Punkte

17.) Es sei [a, b] ⊂ ℝ und die Funktion f : [a, b] → ℝ möge Lebesgue- integrierbar sein. Weiter setzt man

F : [a, b] → ℝ; F (x) := ∫_{a}^{x} f(t)dt := ∫_{[a,x]} f(t)dt.

Zeigen Sie:

(a) Die Funktion F ist stetig. (Tip. Forster §6 Satz 3.)

(b) Ist f in x_{0} ∈ [a, b] stetig, so ist F in x_{0} differenzierbar und es gilt: F′(x_{0}) = f(x_{0}). (Tip. Wie der Beweis für Riemann- Integrale, Aufgabe 16)

(c) Ist f stetig in [a, b], so stimmt das Riemann- Integral von f über [a, b] mit dem enstprechenden Lebesgue Integral überein.

3 + 2 + 1 Punkte

18.) Es sei X ein pseudometrischer (oder topologischer ) Raum. Eine Menge A ⊂ X heisst dicht in X, falls Ā = X, dabei bedeutet Ā die abgeschlossene Hülle von

A. Eine Menge heisst nirgends dicht in X, falls Ā^{∘} = ∅. Eine Menge M ⊂ X heisst mager (oder von erster Kategorie) in X, falls eine Folge (M_{n})_{n∈ℕ} nirgends dichter Mengen M_{n} ⊂ X existieren mit M = ⋃_{n∈ℕ} M_{n}.

Bitte wenden!

(a) Begründen Sie, welche der folgenden Mengen dicht oder nirgends dicht in X liegen:

(i) X = (L^{1}(ℝ^{n}), ∥ · ∥_{L_{1}}) und A = C_{c}(ℝ^{n}), H^{↑}(ℝ^{n}) ∩ L^{1}(ℝ^{n}). (ii) X = (ℝ^{n}, ∥ · ∥_{2}) und A = ℝ^{n−1} × {0}, ℚ^{n}, ℤ^{n}.

(b) Welche der folgenden Mengen sind mager in X?

(i) X = (ℝ, | · |) und M = ℚ. (ii) X = (ℂ, | · |) und M = ℝ.

(c) Zeigen Sie: Jede Teilmenge einer mageren Menge ist mager.

(d) Zeigen Sie: Die abzählbare Vereinigung magerer Mengen ist mager.

3 + 2 + 1 + 1 Punkte

\underline{Abgabe:} 15.12.03, in der Übung.