Differentialgleichungen I

Wintersemester 2005/06




Anwendungen und elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen; Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenz, Einzigkeit, stetige Abhängigkeit und Stabilität, lineare Systeme, Differentialgleichungen im Banach-Raum; Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung: klassische Lösbarkeit linearer und semilinearer Probleme, Greensche Funktion, Maximumprinzip und Stabilität



 
 
Vorlesung  Mi  10 - 12 Uhr MA 041 Dr. Etienne Emmrich 
   Fr  12 - 14 Uhr MA 005  
Übung  Mo  14 - 16 Uhr MA 004 Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler
Tutorien Mi 12 - 14 Uhr MA 850 Dr. Jerry Gagelman
  Mi 16 - 18 Uhr MA 749 Dr. Jerry Gagelman
  Do   8.30 - 10.00 Uhr MA 549 Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler
  Do 16:00 - 17:30 Uhr MA 750 Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler
  Fr 14 - 16 Uhr MA 650 Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler
Sprechzeiten Mi 13 - 14.30 Uhr MA 367 Dr. Etienne Emmrich
  Mo 16 - 17.30 Uhr MA 363 Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler
  Di   9 - 10.30 Uhr MA 365 Dr. Jerry Gagelman
Sekretariat MA 3-3     MA 370 Frau Twilling


Feriensprechstunden:
Dr. Etienne Emmrich Mo 06.03. 14.30 - 16.00 Uhr
  Mi 15.03. 13.00 - 14.30 Uhr
  Mi 22.03. 13.00 - 14.30 Uhr
Hans-Christian Kreusler Di 20.02. 13.00 - 14.30 Uhr
  Mi 29.03. 10.30 - 12.00 Uhr
  Fr 31.03. 13.00 - 14.30 Uhr


Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de oder kreusler@math.tu-berlin.de



AKTUELLES:

  Die Feriensprechstunde von Christian Kreusler am 29.3. verschiebt sich auf 10.30 - 12.00 Uhr.


Hörerkreis: Studierende der Mathematik (auch Lehramt), Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik

Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis oder Optimalsteuerung denken. Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite).

Geplante Fortsetzung im Sommersemester 2005: Differentialgleichungen II (4+2 SWS), insbesondere zur schwachen Lösungstheorie für lineare und nichtlineare, elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Theorie der monotonen Operatoren, Evolutionsgleichungen

Voraussetzungen: Analysis I, II, III und Lineare Algebra I, insbesondere der Banachsche Fixpunktsatz, der Satz von Picard-Lindelöf und die Behandlung linearer Differentialgleichungssysteme aus Analysis II, Meßbarkeit, das Lebesguesche Integral und der Brouwersche Fixpunktsatz aus Analysis III

Kriterien für einen unbenoteten Übungsschein: erfolgreiche Mitarbeit in den Tutorien, regelmäßige Bearbeitung der Hausaufgaben, 50% der Punkte aus den ersten 6 und 50% der Punkte aus den zweiten 7 Übungsblättern.

Prüfungsmodalitäten: Für die mündlichen Prüfungen ist als Prüfungszeitraum die Woche vom 03.04. bis zum 07.04.2006 vorgesehen. Anmeldungen bitte im Sekretariat MA 3-3 bei Fr. Twilling (Sprechzeiten Mo, Di, Do, Fr jeweils 9.30 - 11.30 Uhr).

Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an

W. Walter. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. Springer, Berlin, 7. Auflage, 2000.
E. Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. Vieweg, 2004.

Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.

In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.

Weitere Literaturempfehlungen

    ... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zur Biomathematik finden Sie hier (als PDF-Datei)

Inhalt:

0 Einführung: Anwendungsbeispiele und Typen von Differentialgleichungsproblemen
1 Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
   1.1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
   1.2 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
   1.3 Das Charakteristikenverfahren für quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
   1.4 Grundtypen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2 Existenz und Einzigkeit bei Anfangswertproblemen für gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen
   2.1 Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen mit Werten in einem Banach-Raum
   2.2 Der Satz von Picard-Lindelöf: Lokale und globale eindeutige Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Operator-Differentialgleichungen
   2.3 Lineare Systeme mit beschränkten Operatoren
   2.4 Der Satz von Peano über die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für endlichdimensionale Systeme und eine Verallgemeinerung auf Operator-Differentialgleichungen
   2.5 Einzigkeitsaussagen
   2.6 Verlauf der Lösungen im Großen und maximal fortgesetzte Lösungen
   2.7 Zur Existenz und Einzigkeit von Lösungen im Sinne von Carathéodory
3 Abhängigkeit der Lösungen von den Daten, Stabilität, Zeitdiskretisierung
   3.1 Stetige und differenzierbare Abhängigkeit der Lösungen von den Daten. Das Gronwallsche Lemma.
   3.2 Dissipative Systeme
   3.3 Zeitdiskretisierung durch einfache Einschrittverfahren
   3.4 Stabilität und der Satz von Ljapunov. Asymptotisches Verhalten
4 Klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
   4.1 Grundbegriffe und elementare Aussagen
   4.2 Randwertprobleme für homogene, lineare Differentialgleichungen
   4.3 Greensche Funktion und semilineare Probleme I
   4.4 Greensche Funktion und inhomogene, lineare Probleme
   4.5 Maximumprinzip und Stabilität
   4.6 Sturm-Liouville-Problem
   4.7 Greensche Funktion und semilineare Probleme II
   4.8 Ober- und Unterlösungen

Zwei Beweise des Satzes von Ljapunov können hier heruntergeladen werden.
Hier die Graphik aus der Übung am 6.2..
Das Bild der Greenschen Funktion für -u''=f auf [0,1].

Die Prüfungsthemen.

Vorlesungsmitschrift von Jan Witte (ohne jegliche Gewähr).

Übungsblätter (pdf):
 
Blatt 1 und Informationen
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Blatt 13
Blatt 14
Zusatzblatt 15

Software:

Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.

Informationen zu MATLAB:

Ähnlich wie MATLAB und frei zugänglich ist SCILAB des französischen INRIA - Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique.

Informationen zu SCILAB:

Für Fortgeschrittene empfehlen wir FEMLAB - ein Programmpaket, welches ursprünglich auf MATLAB aufbaut und für professionelle wissenschaftlich-technische Berechnungen geeignet ist. Zahlreiche Beispiele auf CD aus Bereichen wie Chemical Engineering und Fluid Dynamics sowie weitere Informationen sind unter www.comsol.de bzw. www.femlab.com zu erhalten.



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