Differentialgleichungen I
Wintersemester 2005/06
Anwendungen und elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen; Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenz, Einzigkeit, stetige Abhängigkeit und Stabilität, lineare Systeme, Differentialgleichungen im Banach-Raum; Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung: klassische Lösbarkeit linearer und semilinearer Probleme, Greensche Funktion, Maximumprinzip und Stabilität
Vorlesung | Mi | 10 - 12 Uhr | MA 041 | Dr. Etienne Emmrich |
Fr | 12 - 14 Uhr | MA 005 | ||
Übung | Mo | 14 - 16 Uhr | MA 004 | Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler |
Tutorien | Mi | 12 - 14 Uhr | MA 850 | Dr. Jerry Gagelman |
Mi | 16 - 18 Uhr | MA 749 | Dr. Jerry Gagelman | |
Do | 8.30 - 10.00 Uhr | MA 549 | Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler | |
Do | 16:00 - 17:30 Uhr | MA 750 | Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler | |
Fr | 14 - 16 Uhr | MA 650 | Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler | |
Sprechzeiten | Mi | 13 - 14.30 Uhr | MA 367 | Dr. Etienne Emmrich |
Mo | 16 - 17.30 Uhr | MA 363 | Dipl.-Math. Hans-Christian Kreusler | |
Di | 9 - 10.30 Uhr | MA 365 | Dr. Jerry Gagelman | |
Sekretariat MA 3-3 | MA 370 | Frau Twilling |
Dr. Etienne Emmrich | Mo | 06.03. | 14.30 - 16.00 Uhr |
Mi | 15.03. | 13.00 - 14.30 Uhr | |
Mi | 22.03. | 13.00 - 14.30 Uhr | |
Hans-Christian Kreusler | Di | 20.02. | 13.00 - 14.30 Uhr |
Mi | 29.03. | 10.30 - 12.00 Uhr | |
Fr | 31.03. | 13.00 - 14.30 Uhr |
Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de oder kreusler@math.tu-berlin.de
Hörerkreis: Studierende der Mathematik (auch Lehramt), Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik
Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis oder Optimalsteuerung denken. Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite).
Geplante Fortsetzung im Sommersemester 2005: Differentialgleichungen II (4+2 SWS), insbesondere zur schwachen Lösungstheorie für lineare und nichtlineare, elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Theorie der monotonen Operatoren, Evolutionsgleichungen
Voraussetzungen: Analysis I, II, III und Lineare Algebra I, insbesondere der Banachsche Fixpunktsatz, der Satz von Picard-Lindelöf und die Behandlung linearer Differentialgleichungssysteme aus Analysis II, Meßbarkeit, das Lebesguesche Integral und der Brouwersche Fixpunktsatz aus Analysis III
Kriterien für einen unbenoteten Übungsschein: erfolgreiche Mitarbeit in den Tutorien, regelmäßige Bearbeitung der Hausaufgaben, 50% der Punkte aus den ersten 6 und 50% der Punkte aus den zweiten 7 Übungsblättern.
Prüfungsmodalitäten: Für die mündlichen Prüfungen ist als Prüfungszeitraum die Woche vom 03.04. bis zum 07.04.2006 vorgesehen. Anmeldungen bitte im Sekretariat MA 3-3 bei Fr. Twilling (Sprechzeiten Mo, Di, Do, Fr jeweils 9.30 - 11.30 Uhr).
Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an
W.
Walter. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine
Einführung.
Springer, Berlin, 7. Auflage, 2000.
E.
Emmrich. Gewöhnliche und
Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte
Einführung in Randwertprobleme und
Evolutionsgleichungen für
Studierende. Vieweg, 2004.
Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.
In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.
Weitere Literaturempfehlungen
... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie
hier
(als PDF-Datei)
...
zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
...
zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier
(als PDF-Datei)
...
zur Biomathematik finden Sie hier
(als PDF-Datei)
Inhalt:
0 Einführung:
Anwendungsbeispiele und Typen von
Differentialgleichungsproblemen
1
Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche
und partielle
Differentialgleichungen
1.1
Lineare
gewöhnliche Differentialgleichungen
1.2
Nichtlineare
gewöhnliche Differentialgleichungen
1.3
Das
Charakteristikenverfahren für quasilineare partielle
Differentialgleichungen erster Ordnung
1.4
Grundtypen
linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2
Existenz und Einzigkeit bei Anfangswertproblemen für
gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen
2.1
Integral für stetige Funktionen einer reellen
Veränderlichen mit Werten in einem Banach-Raum
2.2
Der Satz von Picard-Lindelöf: Lokale und globale
eindeutige Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für
gewöhnliche Operator-Differentialgleichungen
2.3 Lineare Systeme mit beschränkten
Operatoren
2.4 Der Satz von Peano über die
lokale Lösbarkeit
von Anfangswertproblemen für endlichdimensionale
Systeme und eine
Verallgemeinerung auf Operator-Differentialgleichungen
2.5 Einzigkeitsaussagen
2.6 Verlauf der Lösungen im
Großen und maximal
fortgesetzte Lösungen
2.7 Zur Existenz und Einzigkeit von
Lösungen im Sinne
von Carathéodory
3
Abhängigkeit der Lösungen von den
Daten, Stabilität, Zeitdiskretisierung
3.1 Stetige und differenzierbare
Abhängigkeit der Lösungen von den Daten. Das
Gronwallsche Lemma.
3.2 Dissipative Systeme
3.3 Zeitdiskretisierung durch einfache
Einschrittverfahren
3.4 Stabilität und der Satz von
Ljapunov. Asymptotisches
Verhalten
4
Klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für
gewöhnliche
Differentialgleichungen 2. Ordnung
4.1 Grundbegriffe und elementare Aussagen
4.2 Randwertprobleme für homogene,
lineare Differentialgleichungen
4.3 Greensche Funktion und semilineare
Probleme I
4.4 Greensche Funktion und inhomogene,
lineare Probleme
4.5 Maximumprinzip und Stabilität
4.6 Sturm-Liouville-Problem
4.7 Greensche Funktion und semilineare
Probleme II
4.8 Ober- und Unterlösungen
Zwei Beweise des Satzes von Ljapunov können hier
heruntergeladen werden.
Hier die
Graphik aus der Übung am 6.2..
Das
Bild der
Greenschen Funktion
für -u''=f auf [0,1].
Die
Prüfungsthemen.
Vorlesungsmitschrift von
Jan Witte (ohne jegliche Gewähr).
Übungsblätter (pdf):
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Software:
Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.
Informationen zu MATLAB:
Informationen zu SCILAB:
Für Fortgeschrittene empfehlen wir FEMLAB - ein Programmpaket, welches ursprünglich auf MATLAB aufbaut und für professionelle wissenschaftlich-technische Berechnungen geeignet ist. Zahlreiche Beispiele auf CD aus Bereichen wie Chemical Engineering und Fluid Dynamics sowie weitere Informationen sind unter www.comsol.de bzw. www.femlab.com zu erhalten.