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%%% Mathematik III fuer Physiker 
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%%% WS 2007/2008
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%%% Bei Rainer Wuest
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\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{german,a4wide,amssymb,amsmath,enumerate}
\usepackage{srcltx}

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%%% Stil des Dokument
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\pagestyle{empty}                          % Keine Seitenzahlen oder
                                           % aehnliches 

\parindent0pt                              % Kein Einruecken von
                                           % Absaetzen 

\parskip3pt                                % Der elastische Abstand
                                           % zw. zwei Absaetzen

\addtolength{\topmargin}{-4\baselineskip}  % Abstand nach oben minus
                                           % vier Zeilen

\addtolength{\textheight}{+8\baselineskip} % Textblock vier Zeilen
                                           % laenger 

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%%% n\"utzliche Definitionen von Aufgaben
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\newcounter{aufgabe}

% Aufgaben mit Punktzahl als Parameter.
\newenvironment{aufgabe}[1]{\bigskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe}\hfill
(#1 \ifnum #1 = 1 Punkt\else Punkte\fi)}%
\par}{\medskip} 

% Aufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{ueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

% Zusatzaufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{zueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (Zusatz/\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

%%%%
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\intd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Db}{\mathcal{D}}
\newcommand{\spa}{\mathrm{span}\,}
\newcommand{\spur}{\mathrm{Spur}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}
\newcommand{\DD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\rot}{\mathrm{rot}}

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%%% Begin des Dokuments
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\begin{document}
{\small TU Berlin \hfill WS 2007/08\\
 Mathematik III f"ur Physiker \hfill W"ust/Jansen/M"ows/Witte}
\par \medskip

\begin{center}
 	{\large \bf 11. "Ubungsblatt}\\ \smallskip
	(Abgabe: bis Mi. 23. Januar, 12:15 Uhr, Briefkasten MA 728)
\end{center}

\hrule

\begin{aufgabe}{2}
	Finde ein $m\in \NN$ und eine Funktion $f$ aus $\RR^m$ nach $\RR$, die die folgenden 
	Eigenschaften erf"ullt: 
	\begin{enumerate}
		\item $G:=\mathcal{D}(f)\subset \RR^m$ ist offen.
		\item $f$ ist in $\mathcal{D}(f)$ differenzierbar, und 
	$\nabla f(x) = 0\quad (x\in G).$
		\item $f$ ist nicht konstant. 
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{2}
	Seien $G\subset \RR^3$ offen, $\Phi \in C^1(G)$  und $f\in C^1(G;\RR^3)$. 
	Zeige, dass 
	$$ \rot (\Phi g) = \Phi\, \rot g + (\nabla \Phi) \times  g.$$
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{4}
	Seien $f,g:\RR^2 \to \RR^2$ definiert durch
	$$ f(x)=\begin{pmatrix} 2 x_1 x_2\\ x_1^2 \end{pmatrix},\quad
	  g(x)=\begin{pmatrix} 2 x_1 x_2 \\ - x_1^2 \end{pmatrix}.$$
	Untersuche die beiden Felder auf Konservativit"at und bestimme gegebenenfalls ein Potential. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{5}
	Sei $G:=\RR^2\backslash\{0\}$ und $b:G \to \RR^2$ gegeben durch 
	$$ b(x,y):=\frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y  \\ x \end{pmatrix}.$$
	Das Feld $g$ ist in $G$ zwar wirbelfrei, aber nicht konservativ (siehe Vorlesung bzw. W"usts Buch). 
	Hier soll nun das Feld auf einem kleineren Bereich untersucht werden. 
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Sei $G_0:= \RR^2 \backslash \{\la x,0\ra \mid x\leq 0\}$. 
			Zeige, dass $b$ in $G_0$ konservativ ist.
		\item Bestimme s"amtliche Potentiale von $g$ in $G_0$. 
			"Uberpr"ufe, dass keines der Potentiale zu einem Potential 
			auf ganz $G$ fortgesetzt werden kann. 
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\newpage
\begin{aufgabe}{7}
	\begin{enumerate}[a)]
	 	\item Sei $A\in M_{n\times n}^\RR$ und $f:\RR^n\to \RR^n$, $f(x):=Ax$. 
		In einer fr"uheren Aufgabe wurde f\"ur den Fall, dass $A$ symmetrisch ist, 
		gezeigt, dass $f(x) = \nabla V(x)$ mit 
		$V(x) = (x,Ax)/2$. Anders formuliert: wenn $A$ symmetrisch ist, 
		dann ist die zugeh"orige lineare Abbildung ein Potentialfeld. Zeige, dass auch die Umkehrung 
		gilt, d.h.: wenn $f$ ein Potentialfeld ist, so muss $A$ symmetrisch sein. 

		\item Sei $A\in M_{3\times 3}^\RR$ und $f:\RR^3\to \RR^3$, $f(x):=Ax$. 
			Zeige: es gibt eine Abbildung $V\in C^1(\RR^3)$ und einen Vektor
			$g\in \RR^3$, so dass 
			\begin{equation} \label{eq:potrot} \tag{*}
			 f(x) = \nabla V(x) + g\times x \quad (x\in \RR^3).
			\end{equation}
			Wie h"angt $g$ mit der Rotation von $f$ zusammen? 
		
		\item Sei 
			$$A:=\begin{pmatrix}
			      	1 & 0 & 2 \\
				0 & 0 & 0 \\
				0 & 0 & -1
			     \end{pmatrix}, 
			\quad f(x):=Ax \ (x\in \RR^3). $$
			Bestimme ein $V\in C^1(\RR^3)$ und einen Vektor $g \in \RR^3$, so dass 
			die Gleichung~(\ref{eq:potrot}) gilt. 
	\end{enumerate}		
\end{aufgabe}


\end{document}