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%%% Mathematik III fuer Physiker 
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%%% WS 2007/2008
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%%% Bei Rainer Wuest
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\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{german,a4wide,amssymb,amsmath,enumerate}
\usepackage{srcltx}

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%%% Stil des Dokument
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\pagestyle{empty}                          % Keine Seitenzahlen oder
                                           % aehnliches 

\parindent0pt                              % Kein Einruecken von
                                           % Absaetzen 

\parskip3pt                                % Der elastische Abstand
                                           % zw. zwei Absaetzen

\addtolength{\topmargin}{-4\baselineskip}  % Abstand nach oben minus
                                           % vier Zeilen

\addtolength{\textheight}{+8\baselineskip} % Textblock vier Zeilen
                                           % laenger 

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%%% n\"utzliche Definitionen von Aufgaben
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\newcounter{aufgabe}

% Aufgaben mit Punktzahl als Parameter.
\newenvironment{aufgabe}[1]{\bigskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe}\hfill
(#1 \ifnum #1 = 1 Punkt\else Punkte\fi)}%
\par}{\medskip} 

% Aufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{ueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

% Zusatzaufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{zueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (Zusatz/\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

%%%%
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\intd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Db}{\mathcal{D}}
\newcommand{\spa}{\mathrm{span}\,}
\newcommand{\spur}{\mathrm{Spur}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}
\newcommand{\diff}{\mathrm{D}}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}
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%%% Begin des Dokuments
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\begin{document}
{\small TU Berlin \hfill WS 2007/08\\
 Mathematik III f"ur Physiker \hfill W"ust/Jansen/M"ows/Witte}
\par \medskip

\begin{center}
 	{\large \bf 7. "Ubungsblatt}\\ \smallskip
	(Abgabe: bis Mi. 12. Dezember, 12:15 Uhr, Briefkasten MA 728)
\end{center}

\hrule

\begin{aufgabe}{4}
 	Sei $f:\RR^2\to \RR^2$, 
	$$f(x):=\begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^2 \\ x_2 ^3 \end{pmatrix}.$$
	Seien $x:=\la 0,0 \ra$, $y:= \la 1,1\ra$. Zeige:
	\begin{enumerate}[a)]
		 \item Es existieren $\tau_1,\tau_2 \in [0,1]$, so dass 
			\begin{align*}
				f_1(y) - f_1(x) &= Df_1(x+\tau_1 (y-x))(y-x), \\
				f_2(y) - f_2(x) &= Df_2(x+\tau_2 (y-x))(y-x).
\			\end{align*}
		\item Es gibt jedoch kein $\tau \in [0,1]$, so dass 
			$$f(y) - f(x) = Df(x+\tau (y-x))(y-x).$$
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}{7}
	Sei $f:\RR^2 \to \RR$, 
	$$ f(x_1,x_2):=\begin{cases}
	  		\frac{2x_1^3x_2}{x_1^2+x_2^2} - x_1x_2,& x \neq 0,\\
			0, & x =0.
	           \end{cases}
	$$	
	\begin{enumerate}[a)]
	 	\item Zeige, dass $f$ "uberall (also insbesondere im Ursprung) differenzierbar ist, 
			und gib die Ableitung $Df(x)$ an. 
		\item Zeige, dass $f$ "uberall in $\RR^2$ zweimal partiell differenzierbar ist, 
			dass aber $D_1D_2 f(0) \neq D_2 D_1 f(0)$.  
		\item Gib eine m"oglichst einfache Begr"undung daf"ur, dass 
			$D_1 D_2 f(x) = D_2 D_1 f(x)$ f"ur alle $x\neq 0$. 
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}{6}
  	Sei $A\in M_{n\times n}^\RR$ und $(\cdot,\cdot)$ das Standardskalarprodukt auf dem $\RR^n$, 
	und die Funktion $g:\RR^n\to \RR$ sei definiert durch 
	$$g(x):=(x,Ax)\quad (x\in \RR^n).$$
	\begin{enumerate}[a)]
	 \item Berechne $Dg(x)$, $\nabla g(x)$ und die zweite Ableitung $D^{(2)}g(x)$. 
	 \item Was ergibt sich f"ur den Spezialfall, dass $A$ symmetrisch ist? 
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{3}
	Sei $f:\RR^2\to \RR$ mit 
		$$f(x):=e^{x_1} \cos x_2.$$
	Berechne das Taylorpolynom $p$ vom Grad $2$ von $f$ bei $x=0$. 
\end{aufgabe}





\end{document}