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%%% Mathematik III fuer Physiker 
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%%% WS 2007/2008
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%%% Bei Rainer Wuest
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\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{german,a4wide,amssymb,amsmath,enumerate}
\usepackage{srcltx}

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%%% Stil des Dokument
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\pagestyle{empty}                          % Keine Seitenzahlen oder
                                           % aehnliches 

\parindent0pt                              % Kein Einruecken von
                                           % Absaetzen 

\parskip3pt                                % Der elastische Abstand
                                           % zw. zwei Absaetzen

\addtolength{\topmargin}{-4\baselineskip}  % Abstand nach oben minus
                                           % vier Zeilen

\addtolength{\textheight}{+8\baselineskip} % Textblock vier Zeilen
                                           % laenger 

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%%% n\"utzliche Definitionen von Aufgaben
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\newcounter{aufgabe}

% Aufgaben mit Punktzahl als Parameter.
\newenvironment{aufgabe}[1]{\bigskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe}\hfill
(#1 \ifnum #1 = 1 Punkt\else Punkte\fi)}%
\par}{\medskip} 

% Aufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{ueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

% Zusatzaufgaben f\"ur die \"Ubung.
\newenvironment{zueaufgabe}{\medskip\par\noindent\stepcounter{aufgabe}%
\centerline{{\bf\theaufgabe. Aufgabe} \hfill (Zusatz/\"Ubung)}%
\par}{\medskip} 

%%%%
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\intd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Db}{\mathcal{D}}
\newcommand{\spa}{\mathrm{span}\,}
\newcommand{\spur}{\mathrm{Spur}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}
\newcommand{\DD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}
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%%% Begin des Dokuments
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\begin{document}
{\small TU Berlin \hfill WS 2007/08\\
 Mathematik III f"ur Physiker \hfill W"ust/Jansen/M"ows/Witte}
\par \medskip

\begin{center}
 	{\large \bf Zusatzaufgaben}\\ \smallskip
	(Abgabe: bis Mi. 16. Januar, 12:15 Uhr, Briefkasten MA 728)
\end{center}

\hrule\medskip

Die Abgabe dieser Aufgaben ist freiwillig. Ihr k"onnt damit Euren Punktestand aufbessern, 
die Mindestpunktezahl f"ur das Semester bleibt bei 60\% der Gesamtpunkte auf die Pflichtaufgaben. 

\begin{aufgabe}{3}
	Befindet sich am Ort $x\in \RR^3$ eine Punktladung, so sieht ein Beobachter 
	am Ort $y\in \RR^3$ ein Potential $\Phi_y(x)$, gegeben durch 
	$$\Phi_y(x):=\frac{1}{|y-x|}.$$
	Wir betrachten die Position $y$ des Beobachters als fest gew"ahlt und die Position der Ladung 
	$x$ als variabel. Zeige, dass f\"ur $y\neq 0$ und geeignete $y$-abh"angige $Q_{jk}\in \RR$ 
	$$\Phi_y(x) = \frac{1}{|y|}+ \frac{(x,y)}{|y|^3} + \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^3 
		\frac{Q_{jk} x_j x_k}{|y|^5} + o(|x|^2)\quad (x\to 0)$$
	und bestimme $Q_{jk},\ 1\leq j,k\leq 3$. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{4}
	Seien $a^{(1)},...,a^{(p)}$ Punkte im $\RR^n$. Zeige, dass der mittlere Quadratabstand 
	$$f(x):=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^p |x-a^{(k)}|^2$$
	des Punktes $x\in \RR^n$ zu der Punktewolke $a^{(1)},...,a^{(p)}$ sein globales (!) Minimum  
	in deren Mittelpunkt
	$$x=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^p a^{(k)}$$
	annimmt.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}{3}
	Bestimme drei Zahlen $a,b,c \geq 0$ deren Summe gleich $60$ und deren Produkt 
	maximal ist.  
\end{aufgabe}

\end{document}
