Funktionalanalysis II WS 2011/2012

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Aktuelles:

16.02.2012
Wer sich in der letzten Vorlesung nicht auf der Liste eingetragen hat, sollte sich bis Ende Februar bei mir melden, ob eine Pruefungsabsicht besteht, und wenn ja, welche.

14.02.2012
Hier die Lösungen zu Blatt 14.

09.02.2012
Wegen Krankheit fällt die Übung morgen leider aus. Die Kreuze von Blatt 14 gibt es geschenkt.

06.02.2012
Da in Aufgabe 3 alle Operatoren unbeschränkt sind, gehört ∞ stets zum Spektrum.

02.02.2012
In Aufgabe 5 betrachten wir den reellen L2. Das ist natürlich nicht nötig.
Für Aufgabe 5 gibt es jetzt einen nicht ganz trivialen Hinweis, von dessen Gültigkeit man sich aber selbstkritisch überzeugen sollte.

27.01.2012
Es scheint als sei die Lösung von Aufgabe 1(c) doch nicht ganz korrekt gewesen. Ich habe das Blatt 12 nocheinmal aktualisiert und die Aufgabe dahingehend erweitert, dass sie noch eine interessante Kettenregel für stetige Funktionen enthält. Die Lösung für (nunmehr) (d) ist etwas knapp aber hoffentlich korrekt. Ihr findet auch die Lösung von Aufgabe 2.

23.01.2012
Aufgabe 1(a) von Blatt 12 war richtig gemeint, aber falsch gestellt.

20.01.2012
Hier die Lösung für Aufgabe 5 von Blatt 11.

19.01.2012
Aufgabe 4(c) und (d) waren im Zusammenspiel offenbar widersinnig. Während (d) richtig ist, sollte in (c) g in BV0 stehen. Ich habe (c) jetzt mal komplett rausgenommen und gewissermaßen in 5(b) integriert. Sorry!

Wieder mal ein unangenehmer Fehler auf Blatt 11. In der Relation 3(e) müssen natürlich die Randpunkte um dieselbe Konstante verschoben werden. Aufgabe 2 gilt natürlich für alle f aus B(X,Sigma).

11.01.2012
Kleiner Fehler auf Blatt 10: in Aufgabe 4 muss die Mengenfunktion endlich sein.

14.12.2011
Auf Blatt 8 fehlte in Aufgabe 1(b) das Wort unitär und in Aufgabe 2 irreduzibel (dies nicht ganz so wichtig).

09.12.2011
Ich bitte das etwas misslungene 7. Übungsblatt zu entschuldigen. Dafür sind alle schweren Aufgaben von Blatt 8 gestrichen worden. Immerhin habe ich hier nochmal die Problematik der Verkettung beim stetigen Funktionalkalkül aufgeklärt. Ich hoffe, es ist nicht zu kompliziert gedacht.

08.12.2011
Meine Sprechzeit ist Mi 14-16 Uhr.

07.12.2011
Die Zusammenhangskomponente eines Punktes (einer Teilmenge) eines topologischen Raumes ist die größte zusammenhängende Teilmenge, welche ihn enthält. Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn sie nicht durch zwei disjunkte offene Mengen getrennt werden kann. Sie heißt wegzusammenhängend, wenn je zwei Punkte durch eine stetige, in der Menge verlaufende Kurve verbunden werden können.

29.11.2011
Da wir Aufgabe 3b) von Blatt 5 (in der aktuellsten Version mit Randpunkten) nicht besprochen haben, aber oft darauf Bezug nehmen, findet Ihr hier die Lösung.

24.11.2011
Ich habe Aufgabe 3b) von Blatt 5 nochmal etwas erweitert, um den Sachverhalt etwas zu erhellen. Bearbeitung auf freiwilliger Basis.

23.11.2011
Ja, auch auf Blatt 5 gab es natürlich einen Fehler in Aufgabe 1. Es ist nur zu zeigen, dass es eine Banachalgebra ist.

22.11.2011
Nach Feststellung eines traurigen Übersetzungsfehlers kann ich nun verkünden, dass Aufgabe 2 von Blatt 4 falsch gestellt war. Zu zeigen ist nur die punktweise Konvergenz. Dazu habe ich auch einen Hinweis eingefügt. Hoffentlich hatte niemand schlaflose Nächte, ansonsten bitte ich um Entschuldigung.

18.11.2011
In Aufgabe 5 von Blatt 3 wurde behauptet, dass das Problem der Rang-r-Approximation an einen Hilbert-Schmidt-Operator im Allgemeinen keine Lösung besitzt. Das ist falsch (aber richtig für Tensoren höherer Ordnung). Wie im Matrixfall kann man die beste Rang-r-Approximation aus der kanonischen Darstellung (=Singulärwertzerlegung) ablesen. Auf diese Weise kann man auch alternativ zu (a) die Existenz zeigen.

05.11.2011
Der Hinweis in Aufgabe 2 von Blatt 3 war nicht sehr hilfreich, siehe das Update. Anstelle des Intervalls [0,pi] soll jetzt [0,pi/2] betrachtet werden, wodurch die Lösung ein wenig hübscher werden sollte. Durch geschicktes Raten kann man übrigens die singulären Zahlen von T bestimmen ohne T* zu kennen. Das wäre allerding sehr schade.

24.10.2011 Update
Bitte ladet Blatt 1 noch einmal herunter, denn die Bemerkung zu Aufgabe 5a) war natürlich falsch. Es gibt unter der angegebene Bedingung eine äquivalnte Norm, in welcher der Operator eine Kontraktion ist.
Auch in b) soll nur gezeigt werden, dass es zumindest eine rechte Seite y gibt, für welche die sukzessive Approximation bei ungünstiger Wahl des Startwerts divergieren kann. (Die Menge dieser y ist aber sogar von zweiter Kategorie.)

20.10.2011
Hier nun die Scheinkriterien.

1. Es gibt jede Woche ein Übungsblatt mit Aufgaben, deren Lösungen in der folgenden Woche in der Übung von den Studenten an der Tafel präsentiert werden.
2. Jeder Student kreuzt zu Beginn einer Übung auf einer bereitgestellten Liste an, welche Aufgaben er vorführen könnte.
3. Die Auswahl des Studenten für eine Aufgabe erfolgt durch ein noch festzulegendes Zufallsprinzip. Jeder Student kommt aber pro Übung höchstens einmal dran, es sei denn es gibt zu wenige Teilnehmer.
4. Man benötigt in der ersten Semesterhälfte (vor Weihnachten) 24 Kreuze, in der zweiten 18 Kreuze um den Übungsschein zu erhalten.
5. Wer im Falle seiner Wahl nichts Adäquates vortragen kann, erhält alle Kreuze dieser Übung und fünf weitere abgezogen. Ebenso bei Kreuzen ohne Anwesenheit.

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Das Team:

Funktion	Name	Raum	Sprechzeiten	Telefon	E-Mail
Dozent	Dr. Patrick Winkert	MA 365	nach Vereinb.	314-28899	winkertmath.tu-berlin.de
Assistent	André Uschmajew	MA 367	Mi 14 - 16	314-29499	uschmajewmath.tu-berlin.de