Zun\"achst betrachten wir allgemein den Ausdruck
\[
\tilde{f}(a_1,\dots,a_n)=(\dots((a_1\oplus a_2) \oplus a_3)\dots) \oplus a_n
\]

Es ist
\[ a_1\oplus a_2 = (a_1 + a_2) (1 + \varepsilon_1),\quad \mbox{\rm wobei}\; 
 |\varepsilon_1| \leq \eps
\]
\[ 
\Longrightarrow (a_1\oplus a_2) \oplus a_3 = ((a_1 + a_2) (1 + \varepsilon_1) + a_3)(1 + \varepsilon_2) ,\quad  |\varepsilon_2| \leq \eps
\]
\[ 
\Longrightarrow \tilde{f}(a_1,\dots,a_n) = 
(\dots((a_1 + a_2) (1 + \varepsilon_1) + a_3)(1 + \varepsilon_2) + \dots) +a_n)
(1+\varepsilon_{n-1})
\]
wobei $|\varepsilon_3|,\dots,|\varepsilon_{n-1}| \leq \eps$
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow \tilde{f}(a_1,\dots,a_n) & =  &
\phantom{+} a_1 (1 + \varepsilon_1)(1 + \varepsilon_2) \dots (1+\varepsilon_{n-1}) \\
& & 
+ a_2 (1 + \varepsilon_1)(1 + \varepsilon_2) \dots (1+\varepsilon_{n-1}) \\
& & 
+ a_3 (1 + \varepsilon_2)(1 + \varepsilon_3) \dots (1+\varepsilon_{n-1}) \\
& & 
+ a_4 (1 + \varepsilon_3)(1 + \varepsilon_4) \dots (1+\varepsilon_{n-1}) \\
& & 
+ \dots \\
& & 
+ a_n (1+\varepsilon_{n-1}) 
\end{eqnarray*}
Sei 
\[
1 + \delta_{i+1} := \underbrace{(1 + \varepsilon_i)(1 + \varepsilon_{i+1}) \dots (1+\varepsilon_{n-1})}_{n-i \;\; \rm Faktoren}
\]
Dann ist in erster N\"aherung
\[
|\delta_{i+1}| \dotleq |n-i| \eps
\]
und es gilt
\[
\tilde{f}(a_1,\dots,a_n)=
a_1 (1 + \delta_1)) + a_2 (1 + \delta_2) + a_3 (1 + \delta_3) + \dots 
+ a_n (1+\delta_{n}) 
\]
wobei $\delta_1 := \delta_2$.

Wir machen zun\"achst eine R\"uckw\"artsanalyse. Aus unseren 
allgemeinen Betrachtungen folgt, dass
\[
\tilde{f}(a_1,\dots,a_n)={f}(a_1(1 + \delta_{1}),\dots,a_n(1 + \delta_{n}))
\]
mit $|\delta_{i}|\leqslant \eps |n-i+1|$.

Als n\"achstes folgt eine Vorw\"artsanalyse. Hierbei ist zu zeigen, dass
\[
\tilde{f}(a_1,\dots,a_n)={f}(a_1,\dots,a_n) + \varepsilon.
\]
Aufgrund unserer allgemeinen Betrachtungen folgt sofort
 $\varepsilon = \sum_{i=1}^n \delta_{i} a_i$ und wir haben
\begin{eqnarray*}
|\varepsilon | &\leqslant & \sum_{i=1}^n |\delta_{i}| |a_i|\\
               &\leqslant & \eps \sum_{i=1}^n |n-i+1| |a_i|.
\end{eqnarray*}


Schlie{\ss}lich noch der absolute Fehler.
\begin{eqnarray*}
|\tilde{f}(a_1,\dots,a_n)-{f}(a_1,\dots,a_n)| 
& \dotleq & \eps \sum_{i=1}^n |n-i+1| |a_i| 
\end{eqnarray*}
