\begin{enumerate}
\item Wir partitionieren eine Matrix $A$ als 
\[
A=\left[a_{:,1},\dots,a_{:,n}\right]=
  \left[\begin{array}{c} a_{1,:}\\ \vdots\\ a_{n,:}\end{array}\right].
\]
Dann ist 
\begin{eqnarray*}
\|Ax\|_2^2 &=&\sum_{i=1}^m |a_{i,:}x|^2\\
	   &\stackrel{Cauchy-Schwarz~Ungl.}{\leqslant}&
           \sum_{i=1}^m \|a_{i,:}\|_2^2 \|x\|_2^2\\
	   &=& \|\left[\begin{array}{c} a_{1,:}\\ \vdots\\ a_{n,:}\end{array}\right]\|_F^2 \|x\|_2^2\\
           &=& \|A\|_F^2 \|x\|_2^2
\end{eqnarray*}
\[
\Longrightarrow
\|A\|_2 =\sup_{x\neq 0} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \leqslant \|A\|_F.
\]
Umgekehrt ist
\begin{eqnarray*}
\|A\|_F^2 &=& \|[a_{:,1},\dots,a_{:,n}]\|_F^2\\
          &=&  \sum_{j=1}^n \|a_{:,j}\|_2^2 \\
          &=&  \sum_{j=1}^n \|Ae_j\|_2^2 \\
          &\leqslant&  \sum_{j=1}^n \|A\|_2^2 \|e_j\|_2^2 \\
          &=& \|A\|_2^2 n.
\end{eqnarray*}

\item Es ist
\begin{eqnarray*}
\|AB\|_F^2 &=& \|[Ab_{:,1},\dots,Ab_{:,n}]\|_F^2\\
           &=& \sum_{j=1}^n\|Ab_{:,j}\|_2^2\\
           &\leqslant& \sum_{j=1}^n\|A\|_2^2 \|b_{:,j}\|_2^2\\
           &=& \|A\|_2^2 \|[b_{:,1},\dots,b_{:,n}]\|_F^2\\
           &=& \|A\|_2^2 \|B\|_F^2 \leqslant  \|A\|_F^2 \|B\|_F^2.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}
