Laut Voraussetzung haben wir 
\[
\left|a_{jj}\right| > \sum_{i=1\atop i\neq j}^n \left|a_{ij}\right|, \; \mbox{\rm f\"ur alle }
j=1,\dots,n.
\]
\begin{enumerate}
\item
Als erstes zeigen wir, dass diagonaldominante Matrizen nicht singul\"ar sind.
Nehme an, dass $x^TA=0$ ist und $x\neq 0$. In diesem Fall sei $j$ eine Komponente
von x mit $|x_j|=\|x\|_\infty$. Dann ist die $j.$ Spalte von $x^TA$ insbesondere $0$ und wir haben 
\[
\sum_{i=1}^n x_ia_{ij}=0 \Rightarrow |a_{jj}|=|\sum_{i=1\atop i\neq j}^n \frac{x_i}{x_j}a_{ij}| \leqslant \sum_{i=1\atop i\neq j}^n  \frac{|x_i|}{|x_j|}|a_{ij}|
\leqslant \sum_{i=1\atop i\neq j}^n |a_{ij}|.
\]
Dies ist aber ein Widerspruch zur Diagonaldominanz. Also ist $x=0$ und
$A$ regul\"ar.
\item
Es folgt sofort aus der Definition der Diagonaldominanz, dass alle
Hauptabschnittsmatrizen wieder strikt diagonaldominant sind, weil in der Summe 
$\left|a_{jj}\right| - \sum_{i=1\atop i\neq j}^n \left|a_{ij}\right|$
h\"ochstens einige Aussendiagonaleintr\"age wegfallen.
\item
Um zu zeigen, dass $A$ eine $LR$--Zerlegung besitzt, m\"ussen wir zeigen, dass
alle f\"uhrenden Hauptabschnittsmatrizen nicht singul\"ar sind (Satz 
\ref{2.1.17} der
Vorlesung). Da aber alle Hauptabschnittsmatrizen
diagonaldominant sind, sind diese insbesondere nicht singul\"ar.
\end{enumerate}
