Aus der \"Ubung \ref{numI/uebung043} 
wissen wir, dass das Fixpunktverfahren (c),(d)
keine Fixpunkte besitzt. Zumindest keine reellen. Bei (c) existiert ein
komplexer Fixpunkt, der zugleich komplexe Nullstelle unserer Funktion ist.
Bei (a),(b) haben wir immer abwechselnd anziehende und absto{\ss}ende
 Fixpunkte. Wir erwarten also, dass je nach Lage der Startwerte, die
Fixpunktverfahren (a),(b) jeweils gegen den n\"achsten anziehenden Fixpunkt
bzw. gar nicht konvergieren. Vom Newton--Verfahren erwarten wir, dass es
eigentlich recht ordentlich konvergiert.

Die Nullstellen unsere Funktion sind n\"aherungsweise die Nullstellen des
Sinus, weil die Exponentialfunktion sehr schnell abklingt f\"ur 
$x\to-\infty$.
Als ersten Startwert nehmen wir $-\pi/4$. Wir betrachten die Rechenzeit und
den Verlauf der Residuen. Das Residuum ist f\"ur das Newtonverfahren
 $\|e^x-\sin x\|$ und bei den Fixpunktverfahren $\|x-\Phi(x)\|$.

\begin{center}
\unitlength 1cm
%\fbox
{
\begin{picture}(16.5,7)
% \put(-0.5,0){\epsfig{file=../046/A100311.ps,width=8cm,height=7cm,clip=}}
% \put(7.8,0){\epsfig{file=../046/A100312.ps,width=8cm,height=7cm,clip=}}
\put(-0.5,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100311}}
\put(7.8,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100312}}
\end{picture}
}
\end{center}
Die Fixpunktverfahren (a),(d) konvergieren hier gar nicht, 
(c) nur sehr langsam aber gegen eine komplexe Nullstelle unserer Funktion. 
Newton und (b) konvergieren beide sehr schnell. Wir betrachten die 
Lage der Nullstellen.
\begin{center}
\unitlength 1cm
%\fbox
{
\begin{picture}(8,7.5)
% \put(-1,0){\epsfig{file=../046/A100313.ps,height=8cm,clip=}}
\put(-1,0){\includegraphics[width=0.60\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100313}}
\end{picture}
}
\end{center}
Beide Verfahren berechnen die Nullstelle links des Startwertes.

Als zweiten Startwert nehmen wir $-5\pi/4$. 
\begin{center}
\unitlength 1cm
%\fbox
{
\begin{picture}(16.5,7)
% \put(-0.5,0){\epsfig{file=../046/A100321.ps,width=8cm,height=7cm,clip=}}
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\put(-0.5,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100321}}
\put( 7.8,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100322}}
\end{picture}
}
\end{center}
F\"ur (c),(d) erhalten wir wieder das gewohnte Bild.
Diesmal konvergiert neben dem Newton--Verfahren und (b) auch Verfahren (a).
Die Rechenzeit der drei Verfahren ist vergleichbar. Interessanter ist
die Lage der Nullstellen.
\begin{center}
\unitlength 1cm
\begin{picture}(8,7.5)
% \put(-1,0){\epsfig{file=../046/A100323.ps,height=8cm,clip=}}
\put(-1,0){\includegraphics[width=0.60\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100323}}
\end{picture}
\end{center}
Das Newton--Verfahren und (b) berechnen die n\"achstgelegene Nullstelle
rechts vom Startwert. (a) dagegen die Nullstelle links vom Startwert.

Als dritten Startwert nehmen wir $-9\pi/4$. 
\begin{center}
\unitlength 1cm
%\fbox
{
\begin{picture}(16.5,7)
% \put(-0.5,0){\epsfig{file=../046/A100331.ps,width=8cm,height=7cm,clip=}}
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\put(-0.5,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100331}}
\put( 7.8,0){\includegraphics[width=0.5\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100332}}
\end{picture}
}
\end{center}
Das Verhalten bzgl. Rechenzeit und Residuen gleicht dem Bild beim
Startwert $-5\pi/4$. Interessanter auch hier die Lage der berechneten 
Nullstellen.
\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
% \put(-1,0){\epsfig{file=../046/A100333.ps,height=8cm,clip=}}
\put(-1,0){\includegraphics[width=0.60\linewidth,height=0.55\linewidth]{../046/A100333}}
\end{picture}
\end{center}
Diesmal berechnen das Newton--Verfahren und (a) berechnen die 
n\"achstgelegene Nullstelle
rechts vom Startwert. (b) dagegen die Nullstelle links vom Startwert.

Interessant  ist bei den letzten beiden Startwerten, $-5\pi/4,-9\pi/4$,
dass (a),(b) ein entgegengesetztes Verhalten zeigen. Dies legt daran, dass
die Nullstellen unserer Funktion abwechselnd anziehende und absto{\ss}ende
Fixpunkte von $\Phi_1,\Phi_2$ darstellen und zwar genau versetzt. D.h.
die Fixpunktverfahren (a),(b) liefern, wenn sie f\"ur den gleichen 
Startwert konvergieren, die n\"achste bei $\approx -2\pi,-4\pi,-6\pi,\dots$
gelegene Nullstelle im Falle von (a) , 
bzw. bei  $\approx -\pi,-3\pi,-5\pi,\dots$ 
gelegene Nullstelle im Falle von (b).
