\begin{enumerate}
\item[(a)] Zun\"achst mal kann man in dem Fall, wo $S_c\neq 0$ ist, 
           den Ausdruck an $A$ heranmultiplizieren:
\begin{eqnarray*}
A(S^{-1} + S^{-1}f \frac{1}{S_c}g^TS^{-1})&=&
I-fg^TS^{-1} - fg^TS^{-1}f \frac{1}{S_c}g^TS^{-1}+
f \frac{1}{S_c}g^TS^{-1}\\
&=&
I-f(S_c- g^TS^{-1}f +
1 )\frac{1}{S_c}g^TS^{-1}\\
&=& I.
\end{eqnarray*}
Umgekehrt, wenn $A$ nicht singul\"ar ist, dann ist
\begin{eqnarray*}
S_c(1+g^TA^{-1}f)&=& 1-g^TS^{-1}f+g^TA^{-1}f-g^TS^{-1}fg^TA^{-1}f\\
&=& 1+g^TS^{-1}(-A+S-fg^T)A^{-1}f\\
&=&1.
\end{eqnarray*}
Somit haben alles bewiesen
\item[(b)] Wollen wir $m$ Gleichungen mit $A$ anstelle von $S$ l\"osen, so 
         haben wir einmal $h=S^{-1}f$ zu l\"osen, $S_c=1-g^Th$ zu berechnen und
         dann ist
\[
A^{-1} = (I+h\frac{1}{S_c}f^T)S^{-1}
\]
Somit haben wir bei $m$ Gleichungen die Kosten von
 $(m+1)$ mal dem L\"osen von Systemen mit $S$. Hinzu kommen $m+1$ 
Skalarprodukte, $nm$ weitere Multiplikationen und $nm+1$ Additionen
sowie $m$ Divisionen. Das macht gegen\"uber dem $m$--fachen 
L\"osen mit $S$ ein weiteres L\"osen mit $S$ sowie $2n(2m+1)\flops$.
\item[(c)] Die Formel l\"asst sich offensichtlich auf Bl\"ocke
 verallgemeinern, man setze $S_c=I-g^TS^{-1}f$, was diesmal eine Matrix
 ist und ersetze sonst \"uberall $\frac{1}{S_c}$ durch $S_c^{-1}$.
 Wir haben in Teil a) keine speziellen Eigenschaften von $f,g$ genutzt die 
 nicht auch so f\"ur Bl\"ocke gelten.
\end{enumerate}
