Unterprogramme f\"ur die dividierten Differenzen, die Horner--\"ahnliche
Auswertung k\"onnte man wie folgt formulieren.
\begin{small}
\verbatiminput{../matlab/routines/DIVDIFF.m}
\verbatiminput{../matlab/routines/AUSW.m}
\end{small}

Wir betrachten zun\"achst die beiden Interpolationspolynome f\"ur $n=20$.
Bei \"aquidistanten St\"utzstellen erhalten wir folgendes Bild.
\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/A13021.ps,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}
Nicht zu \"ubersehen sind die gewaltigen Oszillationen an den 
Intervallr\"andern. Anders
 sieht es bei Verwendung der Chebyshov--St\"utzstellen
aus.
\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/A13022.ps,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}
Hier schmiegt sich das Polynom regelrecht an die Funktion an.
Der graphische Unterschied schl\"agt sich auch in den maximalen Fehlern 
nieder, wenn man sukzessive die Zahl der St\"utzstellen erh\"oht.
Der Rechenaufwand ist bei beiden Sorten St\"utzstellen ungef\"ahr gleich.
\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/A13023.ps,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}
Bekanntlich w\"achst der Aufwand f\"ur die Berechnung der dividierten 
Differenzen quadratisch. Da das Polynom aber an sehr vielen Stellen ausgewertet
wird (20--fache der Anzahl St\"utzstellen), f\"allt dieser Anteil nicht so sehr
ins Gewicht, weil die Horner--artige Auswertung nur linear mit der Zahl der
St\"utzstellen w\"achst.
 

Man sieht hier deutlich, da{\ss} die Hinzunahme von immer mehr St\"utzstellen
nicht unbedingt die Genauigkeit erh\"oht. Bei Teil i), wo die St\"utzstellen
einheitlich \"uber das Intervall gelegt werden, beobachtet man mit zunehmender
Zahl der St\"utzstellen st\"arker werdende Oszillationen, vornehmlich am
Intervallrand. Bei der Wahl der St\"utzstellen in Teil ii) (Chebyshov--St\"utzstellen) werden die St\"utzstellen am Intervallrand dichter gelegt als im
Innern. Das zugeh\"orige Polynom verh\"alt sich erheblich gutartiger.

Betrachten wir nun die Funktion $\sqrt{|x|}$, so bietet sich das gleiche Bild
f\"ur \"aquidistante St\"utzstellen. Bei den Tschebyschow--St\"utzstellen 
sind jetzt die Approximationsergebnisse nicht ann\"ahern mehr so gut,
weil die gegebene Funktion nat\"urlich eine Singularit\"at im Nullpunkt hat
(hier: senkrechte Tangente).

\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/f1a.epsc,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}

\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/f1t.epsc,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}

\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(8,7.5)
\put(-1,0){\epsfig{file=../062/f1v.epsc,height=8cm,clip=}}
\end{picture}
\end{center}

Trotz allem sind die Tschebyschow-St\"utzstellen noch erkennbar besser.
Es sollte aber klar sein, dass f\"ur diese Art von Funktionen schlichte
Interpolationspoynome eigentlich ungeeignet sind.
