Wir beweisen die Aussage durch vollst\"andige Induktion.
F\"ur $n=1$ ist nichts zu zeigen. F\"ur $n=2$ erhalten wir
\[
p_2(t)=(\alpha_2-t)(\alpha_1-t)-\beta_2^2
      =(\alpha_2-t)p_1(t)-\beta_2^2p_0(t).
\]
Mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes k\"onne wir $p_n$ berechnen durch
Entwicklung nach der letzten Zeile.
\begin{eqnarray*}
p_n(t)&=&\det(A-tI)\\
      &=& (\alpha_n-t)    \det
\pmatrix{\alpha_1-t& \beta_2  &           &                 \cr
         \beta_2   &\alpha_2-t&\ddots     &                 \cr
                   &  \ddots  &\ddots     & \beta_{n-1}     \cr
                   &          &\beta_{n-1}&\alpha_{n-1}-t}\\
      &&  - \beta_n 
          \det
\pmatrix{\alpha_1-t& \beta_2  &           &              &   \cr
         \beta_2   &\alpha_2-t&\ddots     &              &   \cr
                   &  \ddots  &\ddots     & \beta_{n-2}  &   \cr
                   &          &\beta_{n-2}&\alpha_{n-2}-t& 0 \cr
                   &          &           & \beta_{n-1}  & \beta_n}\\
      &=& (\alpha_n-t) p_{n-1}(t) - \beta_n^2 p_{n-2}(t)
\end{eqnarray*}