Sei $A\in\R^{n,n}$  eine obere Hessenbergmatrix, d.h $a_{ij}=0$ f\"ur alle
$i>j+1$. Zeige: die Elemente der Matrix $A^{(k)}$ die durch $k$ Schritte
das Gau{\ss}--Algorithmus mit partieller Pivotisierung entsteht, erf\"ullen
die Ungleichung
\[
\max_{i,j}|a_{ij}^{(k)}|\leqslant (k+1) \max_{i,j}|a_{ij}|.
\]
Was bedeutet das f\"ur den Wachstumsfaktor 
$\rho=\max_{i,j,k}\frac{|a_{ij}^{(k)}|}{\|A\|_{\infty}}$?\newline
Tipp: Verwende Induktion \"uber die Anzahl Eliminationsschritte $k$ 
und zeige, dass nach dem $k$--ten Eliminationsschritt gilt
$\max_{i\leqslant k+1,j}|a_{ij}^{(k)}|\leqslant (k+1) \max_{i,j}|a_{i,j}|$;
$a_{ij}^{(k)}=a_{ij}$, $i>k+1$; $a^{(k)}_{i+1,i}=0$, $i=1,\dots,k$.

