  Sei $A\in\R^{n,n}$, symmetrisch positiv definit, 
  $A=
   \left(
    \begin{array}{cc}
     A_{11}&A_{12}\\
     A_{21}&A_{22}
    \end{array}
   \right)$ 
  und nehme an, da{ss} $A_{11}\in\R^{k,k}$ ist.
  Das Schur--Komplement ist gegeben durch $S=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$.
  Zeige:
  \begin{enumerate}
\item $A$ l\"a{\ss}t sich schreiben als
\[
   A= L
   \left(
    \begin{array}{cc}
     A_{11}& O\\
     O     & S
    \end{array}
   \right) 
L^\top, \mbox{ wobei }
L=   \left(
    \begin{array}{cc}
     I & O \\
     A_{21}A_{11}^{-1}&I
    \end{array}
   \right). 
\]
\item Ist $M\in\R^{n,m}$ mit $\textrm{rang}\,M=m$, dann ist $M^\top AM$ 
      symmetrisch positiv definit.
\item $S$ ist symmetrisch positiv definit
\end{enumerate}
