Sei $V\in\C^{n,m}$, Rang $V=m$ und setze $S=I-2V(V^HV)^{-1}V^H$.
\begin{enumerate}
\item
$S$ ist offensichtlich Hermitesch und es ist
$S^HS=S^2
=(I-2V(V^HV)^{-1}V^H)(I-2V(V^HV)^{-1}V^H)
=I - 4 V(V^HV)^{-1}V^H +4V(V^HV)^{-1}V^HV(V^HV)^{-1}V^H=I$.
\item
$S$ ist eine Spiegelung am orthogonalen Komplement von Bild $V$. Denn ist
einerseits $w =Vx$ in Bild $V$, so ist
$Sw=w- 2V(V^HV)^{-1}V^HVx=w-2Vx=-w$. Andererseits gilt f\"ur jedes zu Bild
$V$ senkrecht stehendes $y$, 
$Sy=y- 2V(V^HV)^{-1}V^Hy=y-0 =y$.
Also ist $S$ eine Spiegelung am orthogonalen Komplement von Bild $V$.
\item
Offensichtlich liegt Bild $V$ im Eigenraum von $S$ zum Eigenwert $-1$.
Andererseits ist auch das orthogonale Komplement von Bild $V$ im Eigenraum von
$S$ zum Eigenwert 1 gelegen. Aus Dimensionsgr\"unden m\"ussen die beiden
R\"aume mit den Eigenr\"aumen \"ubereinstimmen (Rang $V=m$). 
Hieraus folgen sofort die Vielfachheiten $m$ f\"ur -1, $n-m$ f\"ur 1.
\item  Sei $x\in \C^n\setminus\{0\}$ und schreibe die erste Komponente 
        $x_1$ von $x$ in 
        Polarkoordinaten als $x_1=|x_1| \ e^{i\theta}$.
        Setze $v=x+e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1$. Dann ist $S=I-\frac{2}{v^Hv}vv^H$
        eine Spiegelung mit $Sx=-e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1$.

      Es ist 
\begin{eqnarray*}
v^Hv &=& (x^H +e^{-i\theta}\|x\|_2 \ e_1^\top)(x +e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1)\\
     &=& 2 \|x\|_2^2 + e^{-i\theta}\|x\|_2 x_1 + e^{i\theta}\|x\|_2 \bar{x}_1\\
     &=& 2 \|x\|_2 (\|x\|_2 + |x_1|).
\end{eqnarray*}

Hieraus folgt
\begin{eqnarray*}
S^H e_1 &=& Se_1\\
        &=& e_1 - \frac{2\bar{v}_1}{v^Hv} v \\
        &=& e_1 - \frac{2(\bar{x}_1+e^{-i\theta}\|x\|_2)}{v^Hv}  (x+e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1)\\
        &=& e_1 - \frac{2e^{-i\theta}(|x_1|+\|x\|_2)}{2\|x\|_2 (\|x\|_2 + |x_1|)}  (x+e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1)\\
        &=& e_1 - \frac{e^{-i\theta}}{\|x\|_2}  (x+e^{i\theta}\|x\|_2 \ e_1)\\
        &=&  - \frac{e^{-i\theta}}{\|x\|_2}  x
\end{eqnarray*}

Hieraus folgt dann sofort
\[
 Sx = - {e^{i\theta}} {\|x\|_2} e_1.
\]
\end{enumerate}
