Sei $A\in\R^{n,n}$.
\begin{enumerate}
\item\label{numI/uebung106-a} Sei $B\in\R^{n,n}$, $B=\pmatrix{0 & 0 & b_{1n}\cr 0 &0&0\cr b_{n1}&0&0}$
      Finde $U,V\in\R^{n,2}$, so dass $B=UV^\top$.
\item\label{numI/uebung106-b} Zeige die Sherman--Morrison--Woodbury Formel, d.h. sind $A$ und
      $A+UV^\top$ nicht singul\"ar, dann ist auch $C=I+V^\top A^{-1}U$ 
      nichtsingul\"ar und es gilt:
\[
(A+UV^\top)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}UC^{-1}V^\top A^{-1}.
\]
\item Betrachte das lineare Gleichungssystem $(A+B)x=b$, wobei $A$ und $A+B$
      nichtsingul\"ar seien mit $B$ aus Teil \ref{numI/uebung106-a}.
      Nehme an, dass $A$ tridiagonal ist und $A$ und $A+B$ eine $LU$--Zerlegung
      besitzen (ohne Pivotisierung). Wie teuer ist die L\"osung von $(A+B)x=b$
      wenn man einmal eine $LU$--Zerlegung von $A+B$ macht verglichen mit der
      Variante, bei der man zun\"achst eine $LU$--Zerlegung von $A$ macht und
      dann die Sherman--Morrison--Woodbury Formel verwendet.
\end{enumerate}
